5.3 正方形-【精彩练习】2022-2023学年八年级下册初二数学分层作业（浙教版2012）

5.3　正方形(1) 1.如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明(　C　) A．AC与BD互相垂直平分 B．∠A＝∠B且AC＝BD C．AB＝AD且AC＝BD D．AB＝AD且AC⊥BD 2.下列命题中错误的是(　B　) A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．三个角相等的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．菱形的对角线互相垂直平分 3.要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是__AB＝BC(答案不唯一)__(写一个即可). 4.如图，在矩形ABCD中，∠ABC，∠DCB的平分线的交点E落在边AD上，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形． 证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形． 又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°，BE＝CE， ∴四边形BECF是正方形． 5.如图，在菱形ABCD中，E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF. (1)求证：△BCE≌△DCF. (2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD. ∵E，F分别为AB，AD的中点，∴AE＝BE＝AB＝AD＝DF＝AF. 在△BCE和△DCF中，∵ ∴△BCE≌△DCF(SAS). (2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．理由如下： ∵E，O，F分别为AB，AC，AD的中点， ∴EO∥BC，FO∥CD. 又∵AD∥BC，AB∥CD，∴EO∥AD，FO∥AB，∴四边形AEOF是平行四边形． 又∵AE＝AF，∴▱AEOF是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC， ∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°， ∴菱形AEOF是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3　正方形(2) 1.正方形的一个内角度数是(　D　) A．30° B．45° C．60° D．90° 2.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，E是BC上任意一点，EG⊥BD于点G，EF⊥AC于点F.若AC＝10，则EG＋EF的值为(　C　) A．10 B．8 C．5 D．4 第2题图 　　　　　　　　　　第3题图 3.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的形状是__菱形__，周长是__8__． 4.如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连结GH. (1)求证：∠AGE＝∠BGF＝90°. (2)求GH的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD. 在△ABE和△DAF中，∵ ∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴∠ABE＝∠DAF.∵∠ABE＋∠BEA＝90°，∴∠DAF＋∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝∠BGF＝90°. (2)∵点H为BF的中点，∠BGF＝90°，∴GH＝BF. ∵BC＝5，CF＝CD－DF＝5－2＝3， ∴BF＝＝，∴GH＝BF＝. 5.如图，在一正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB，ED. (1)求证：△BEC≌△DEC，并写出图中所有的全等三角形． (2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为__65°__． (3)若AD＝2，G为AD的中点，求DE＋EG的最小值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA. 在△BEC和△DEC中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，CE＝CE， ∴△BEC≌△DEC(SAS).全等三角形还有△BEA≌△DEA，△BAC≌△DAC. (2) ∵∠DEB＝140°，△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°.∴∠AEF＝∠BEC＝70°. ∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°.∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°. 故答案为65°. (3) 学科网（北京）股份有限公司 $