微专题09 解三角形图形类问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题09 解三角形图形类问题 【方法技巧与总结】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【题型归纳目录】 题型一：妙用两次正弦定理 题型二：两角使用余弦定理 题型三：张角定理与等面积法 题型四：角平分线问题 题型五：中线问题 题型六：高问题 题型七：重心性质及其应用 题型八：外心及外接圆问题 题型九：内心及内切圆问题 【典例例题】 题型一：妙用两次正弦定理 例1．（广东省2023届高三二模数学试题）如图，已知△ABC内有一点P，满足． (1)证明：． (2)若，，求PC． 【解析】(1)证明： 在△ABP中，由正弦定理得， 即， 要证明，只需证明， 在△ABP中，， 在△ABC中，， 所以， 所以， 所以． (2)由（1）知，又因为，， 所以， 由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以， 则， 所以在△PBC中，， 由正弦定理得， 即， 即． 由余弦定理得， 由题意知， 故解得， 所以． 例2．（2023·安徽省怀远第一中学高三阶段练习（理））的内角的对边分别为，设. （1）求； （2）若为边上的点，为上的点，，.求． 【解析】（1）由， 得，即 ∴； （2）令，则在中， 由正弦定理得：， 即 在中， 由正切定义： 在中， 由正切定义：， ∴ 例3．（2023·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，． (1)若，求△ABC的面积； (2)若，，，求∠ACB的值． 【解析】(1)在△ABC中，， 因为，所以． ． (2)设，则，，． 在△ACD中，由，得． 在△ABC中，由，得． 联立上式，并由得， 整理得，所以， 因为，所以， 所以，解得，即∠ACB的值为． 题型二：两角使用余弦定理 例4．（2023·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）如图，在凸四边形中，已知． (1)若，，求的值； (2)若，四边形的面积为4，求的值． 【解析】 (1)在△中，∵， ∴． 在△中，由正弦定理得，， ∴． ∵，∴， ∴． (2)在△、△中，由余弦定理得， ， ， 从而①， 由得， ②， 得，， ∴． 例5．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，． (1)证明：； (2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积． ①； ②． 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】 (1)因为， 所以， 故； (2)选①． 因为， 所以 在中，由余弦定理可得， 由正弦定理可得 所以，故， 在中，因为，所以， 又． 选②， 设，则，在中，， 由（1）得， 解得，即 在中，则 ,， 所以， 所以． 所以. 例6．（2023·重庆·二模）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点. (1)证明： (2)若，，求的最大值. 【解析】 (1)证明：设， 由余弦定理知：，， 由是外心知， 而， 所以， 即， 而，因此， 同理可知， 因此， 所以； (2) 解：由（1）知， 由余弦定理知：，， 代入得， 设，则， 因此， 当且仅当时取到等号， 因此的最大值为. 题型三：张角定理与等面积法 例7．（2023·江苏·华罗庚中学三模）在 中，已知. (1)求的值； (2)若是的角平分线，求的长． 【解析】 (1)在中，由余弦定理 整理得 解得或 由于，所以 因为，所以，所以 由正弦定理得：，故 (2)设， 由及三角形的面积公式可得： 整理得 在中，由余弦定理 由得 则 例8．（2023·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长． 【解析】 (1)因为， 设函数的周期为，由题意，即，解得， 所以. (2)由得：，即，解得， 因为，所以， 因为的平分线交于， 所以，即，可得， 由余弦定理得：，，而， 得，因此. 题型四：角平分线问题 例9．（2023·江苏·南京师大附中模拟预测）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足. (1)求角； (2)角的内角平分线交于点，若，，求. 【解析】 (1)由正弦定理及切化弦可得， 又，