专题02 平面向量基本定理及坐标表示-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题02平面向量基本定理及坐标表示 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：平面向量基本定理的理解 考点二：用基底表示向量 考点三：平面向量基本定理的综合应用 考点四：平面向量的坐标表示 考点五：平面向量的坐标运算 考点六：平面向量坐标运算的应用 考点七：向量的坐标运算 考点八：向量平行(共线)的判定 考点九：利用向量共线求参数 考点十：平面向量数量积的坐标表示 考点十一：计算平面向量的模 考点十二：平面向量的夹角与垂直 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 二、平面向量的正交分解及坐标表示 1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标． 3．坐标表示：a＝(x，y)． 4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 三、平面向量加、减运算的坐标表示 1．两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有 符号表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．例如，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 四、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 五、向量共线的判定 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 六、有向线段的定比分点坐标公式及应用 若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当＝λ时， 点P的坐标为(λ≠－1)． 七、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 八、平面向量的模 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝. 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 九、平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 【方法技巧】 1．对基底的理解 两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． 2．对平面向量基本定理的理解 (1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的． (2)对于固定基底而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的． 3.用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型： 4.任意一向量基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再建立方程或方程组，解方程或方程组求出λ1，λ2. 5.求向量坐标的方法 (1)定义法：根据平面向量坐标的定义得a＝xi＋yj＝，其中i，j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量． (2)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标． (3)求差法：先求出这个向量的起点、终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标． 6.平面向量加