专题01 平面向量的概念及运算-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题01平面向量的概念及运算 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：向量的有关概念 考点二：相等向量与共线向量 考点三：向量的表示及应用 考点四：向量的加法运算法则 考点五：向量的加法运算律 考点六：向量加法在实际问题中的应用 考点七：向量的减法 考点八：向量的加减法运算 考点九：向量加减运算几何意义的应用 考点十：向量的线性运算 考点十一：向量共线的判定及应用 考点十二：用已知向量表示其他向量 考点十三: 两向量的夹角 考点十四：两向量的数量积 考点十五：投影向量 考点十六：平面向量的数量积 考点十七：向量模的计算 考点十八：向量的夹角与垂直 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、向量的概念及几何表示 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作||. (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||. ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)． 二、零向量和单位向量 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 三、相等向量与共线向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a＝b 四、向量加法的三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 五、向量加法的平行四边形法则 1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 2．从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的． 3．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 六、共线向量的加法与向量加法的运算律 1．一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 2．(加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 七、向量的减法运算 1．相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2．向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法． 八、向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 九、向量的数乘运算 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. 2λaa≠0的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 十、向量的线性运算 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 十一、向量共线定理 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 十二、两向量的夹角 1.夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是0≤θ≤π. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 十三、两向量的数量积 1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b