微专题 与直线相关的对称问题讲义-2022-2023学年高二上学期沪教版（2020）选择性必修第一册

【学生版】 微专题 与直线相关的对称问题 学习笔记 知识梳理 与直线相关的对称问题，主要有点点、点线、线线对称问题； 解题依据：求点关于点的对称点用中点坐标公式；求点关于直线的对称点则要用到两个重要结论：①点及其对称点连线中点在对称轴上；②连线垂直于对称轴.需要特别指出的是：当对称轴斜率为时，可以通过将点的横纵坐标代人对称轴方程得到相应的纵横坐标； 常用的结论有： 1、点关于定点的对称点坐标为；曲线：关于定点的对称曲线方程为； 2、若求点关于直线：的对称点， 可得方程组，解得 3、求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题典型例题 例1、已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是_____ 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】； 例2、已知直线l：x＋2y－2＝0，试求： （1）点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标； （2）直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程； （3）直线l关于点A(1，1)对称的直线方程． 【提示】 【解析】学习笔记 【说明】关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过两个条件列方程组求解． 例3、已知三角形内角A的内角平分线所在的直线是l：2x＋y＋1＝0，而B(1,2)和C(－1，－1)是三角形的另外两个顶点，求顶点A的坐标． 例4、已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． （1）在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； （2）在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 【说明】利用对称性求距离的最值问题：由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解； 学习笔记 例5、唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为(　　) A． B． C．2 D．10 方法归纳 对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)． （2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0； （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”； 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得； （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题； 巩固练习 1、与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)学习笔记 A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 2、已知△ABC的三个顶点为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形　　　 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3、点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则直线l的方程为 ． 4、求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程． 5、已知一条直线过点P(2，－3)，与直线2x－y－1＝0和直线x＋2y－4＝0分别相交于点A和点B，且P为线段AB的中点，求这条直线的方程． 6、已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． （1）试在l上求一点P，使AP＋CP最小； （2）试在l上求一点Q，使|AQ－BQ|最大． 【教师版】 微专题 与直线相关的对称问题 学习笔记 知识梳理 与直线相关的对称问题，主要有点点、点线、线线对称问题； 解