专题05 导数中的零点问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题05 导数中的零点问题 1.零点存在定理 ①零点的概念：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． ②零点存在定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 2.隐零点的处理策略 已知函数，导函数方程的根存在，却无法求出， 设方程的根为，则有： ①关系式成立，尽可能将复杂的关系式变形为常见的整式或分式，特别注意替换其中的指数或对数函数式，； ②注意确定的合适范围. 考点一 求零点的个数 考点二 根据零点的个数求参数 1.已知零点个数 2.存在零点 考点三 隐零点 考点四 有关三角函数的零点 考点一 求零点的个数 例1．（2023·内蒙古包头·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个零点 B．点是曲线的对称中心 C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线 【答案】C 【分析】利用导函数讨论单调性和极值、最值即可求解A,C，再根据奇函数的对称关系可判断B，根据导数的几何意义可判断D. 【详解】， 令解得，令解得或， 所以在单调递减，单调递增，单调递减， ，且， 所以在各有一个零点，共3个零点，A错误； 为奇函数，所以图象关于对称， 所以的图象关于点对称，B错误； 由单调性可知有两个极值点为，C正确； 对于D，令，解得则， 但是当时，对于直线，有，即直线不经过切点，D错误， 故选:C. 例2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导函数研究单调性即可确定零点个数. 【详解】的定义域为， 由题意可得， 因为单调递增且当时，当时， 所以存在唯一一点使得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以至多有两个零点， 又因为，，所以有2个零点， 故选：C 例3．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)在上有两个零点 【分析】(1)利用导数讨论单调性即可求最值；(2)讨论函数在上的单调性，并用零点的存在性定理确定零点个数，再根据函数为偶函数即可求解. 【详解】（1）因为， 所以在区间上单调递减， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值. （2）先讨论在上的零点个数， 由（1）可知，在上递减，， 所以在上递减，因为， 所以在上有唯一零点， 又因为， 所以是偶函数，所以在上有两个零点. 例4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论函数的零点的个数. 【答案】答案见解析 【分析】设，利用导数判断出单调性并画出图象，结合图象可得答案. 【详解】由得， 设，   则， 令，得，此时单调递增， 令，得，此时单调递减， 即当时，g(x)取得极大值即， 由，单调递增，可得与x轴只有一个交点， 由，单调递减，可得与x轴没有交点， 画出的大致图象如图， 可得m≤0或m=时，有1个零点； 当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点. 综上所述，当m≤0或m=时，有1个零点； 当0<m<时，有2个零点； 当m>时，没有零点. 例5．（2021春·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知函数. (1)当时，证明. (2)讨论函数零点的个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求导得到最值，即可证明； （2）根据题意，分与两种情况讨论，当时，得到函数的最小值，然后证明即可. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 即当时，，所以. （2）因为函数，则， 当时，，则单调递增，且， 所以在上只有一个零点； 当时，令，可得， 由，得，由，得， 且， 令，则， 由，可得，则时，时， 所以上递增，上递减，故， 所以，，趋向正无穷则趋于正无穷， 此时，当时有两个零点，当时有一个零点， 综上，当时，有1个零点；当时，有2个零点. 考点二 根据零点的个数求参数 1.已知零点个数 例6．（2023·全国·高二专题练习）设有三个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，画出图形，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，结合图象关系即可求解． 【详解】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点， 画出函数的图象，直线过定点， 当时，设过的直线与的切点为,， 由，得，，故切线方程为， 把定点代入得：，即． ， 即直线的斜率为． 则使有三个不同的零点的的取值范围是． 故选：D 例7．（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知函数. (1)求的单调性； (2)若关于的方程在上有两个不相等的零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】