7.3.2 离散型随机变量的方差-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 7.3.2 离散型随机变量的方差 问题引入 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题2：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平？ 通过计算可得，，.因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 新知探索 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.下图分别是和的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 新知探索 思考1：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 设离散型随机变量的分布列如表所示. 新知探索 考虑所有可能取值与的偏差的平方，，，.因为取每个值的概念不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概念的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. 新知探索 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性.由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为： 新知探索 因为(等价地，)，所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化. 新知探索 方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质. 问题3：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又会有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量加上一个常数，其均值也相应加上常数，故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即. 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即. 一般地，可以证明下面的结论成立： . 新知探索 辨析1.判断正误. (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( ) (2)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望值的平均程度.( ) (3)离散型随机变量的方差反映了取值的波动水平.( ) (4)若随机变量的方差，则.( ) 答案：×，√，√，×. 新知探索 辨析2.已知随机变量，，则的标准差为__________. 答案：. 辨析3.已知随机变量的分布列如图所示，若，则_____. 答案：. 2 例析 例5.抛掷质地均匀的一枚骰子，求掷出的点数的方差. 解：随机变量的分布列为. 因为，，所以. 例析 例6.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示. (1)投资哪种股票的期望收益大？ 解(1)：股票和股票投资收益的期望分别为 因为，所以投资股票的期望收益较大. 例析 例6.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示. (2)投资哪种股票的风险高？ 解(2)：股票和股票投资收益的方差分别为 因为和相差不大，且，所以投资股票比投资股票的风险高. 例析 随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量的离散程度.在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.例如，如果给随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等. 练习 题型一：求离散型随机变量的方差 例1.(1)随机变量的分布列如图所示，若成等差数列，，则. 解：(1)由题意可得解得 所以. 1 练习 例1.(2)两封信随机投入三个空邮箱中，则邮箱的信件数的方差. 解：(2)的所有可能取值为0，1，2， 所以， .