7.3.1 离散型随机变量的均值-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 7.3.1 离散型随机变量的均值 问题引入 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征. 问题引入 问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示. 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 新知探索 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为. 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为，，，. 甲次射箭射中的平均环数为. 当足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于 . 新知探索 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 例析 例1.在蓝球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？ 解：因为 所以 即该运动员罚球1次的得分的均值是. 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 例析 例2.抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值. 解：的分布列为 因此， 新知探索 思考1：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 新知探索 观察图(1)可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的. 事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值. 新知探索 问题2：如果是一个离散型随机变量，加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即和(其中，为常数)分别与有怎样的联系？ 设的分布列为，，，，. 根据随机变量均值的定义， . 类似地，可以证明. 一般地，下面的结论成立： 新知探索 辨析1.判断正误. (1)随机变量的数学期望是个变量，其随的变化而变化.( ) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同.( ) (3)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体平均值.( ) (4)若随机变量的数学期望，则.( ) (5)若随机变量的数学期望，则.( ) 答案：×，×，√，√，√. 新知探索 辨析2.设件产品中有件废品，从中抽取件进行检查，则查得废品数的均值为( ). A.20 B.10 C.5 D.15 答案：. 辨析3.已知随机变量的分布列如图所示，若，则_____. 答案：2. 1 例析 例3.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. 歌曲 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值. 例析 解：分别用表示猜对歌曲歌名的事件，则相互独立. 的分布列如图所示： 0 1000 2000 3000 0.2 0.32 0.288 0.192 的均值为 例析 例4.根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3