专题12 数列求和之裂项相消、错位相减（典型例题+跟踪训练）-【解答题抢分专题】备战2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题12 数列求和之裂项相消、错位相减 一、典型例题讲解 【典例1】 已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【典例2】 若数列的通项公式为，求的前n项和． 【典例3】 已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)，是数列的前项和，求． 【典例4】 已知正项数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：. 【典例5】 求的前n项和． 【典例6】 求的前n项和 【典例详解】 【典例1】【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得，进而得到； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得：， . （2）由（1）得：（注意提取系数） .（注意遗留项是第一个和倒数第一个） 【典例2】【详解】解：∵（注意提取系数） ∴， （注意遗留项是第一个、第二个和倒数第一个、倒数第二个） 【典例3】【分析】（1）由数列的递推关系式可得数列是等差数列，由此求得数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出． 【详解】（1）由，有，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以； （2）（含根式的裂项相消） （注意遗留项是第一个和倒数第一个） 【典例4】【分析】（1）利用计算整理，可得，再利用等差数列的通项公式得答案； （2）将变形得，利用裂项相消法可得，进一步观察可得证明结论. 【详解】（1）①，当时，②， ①-②得，整理得，，， 又当时，，解得， 数列是以2为首项，2为公差的等差数列，； （2）由（1）得（指数式的裂项相消） （注意遗留项是第一个和倒数第一个） ，即. 【典例5】【分析】利用错位相减法即可求解. 【详解】依题意，设的前项和为， 则有：，所以① 所以②（写出“”） 由①②得： ， 所以（错位相减后有一个等比数列的前n项或n-1项的和，注意项数！），即， 整理得：. 【典例6】【分析】直接利用错位相减法即可求解. 【详解】依题意，设的前n项和为（不熟悉的话可以将分式可以化成“乘式”去操作即化成） 则，即① 所以②（写出“”） 由①②得：， 所以，所以，整理得：. 裂项相消解题技巧：裂项的本质是为了让前n项和Sn的中间项能够消去，所以不管是什么类型都要注意裂项后遗留下来的式子（对称的保留，前面剩下两个式子，后面会对称的剩下两个式子。例如剩第一个式子就会剩倒数第一个式子，以此类推），化简的时候要注意检验整个式子有无发生变化，是否要添加系数保证整个式子不变！ 错位相减解题技巧：(1)要善于识别题目类型，看清楚是不是“等差×等比”，出现分式要考虑好，不熟悉的情况下可以利用指数的运算化简成“乘式”的形式。如果等比数列公比为负数，要特别留意计算；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式。 二、梳理必备知识 1.裂项相消常见类型 ① 例： ② 例： ③ 例： ④ 例： 其他示例： 2.错位相减的技巧 （1）一般步骤 （2）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． （3）等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：．（切忌死记硬背） 3.数列中与之间的关系： 注意通项能否合并。 4.等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。 （2）等差中项：若三数成等差数列 （3）通项公式： 或 （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②下标为等差数列的项，仍组成等差数列； ③数列（为常数）仍为等差数列； ④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列。 ⑤若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列。 5.等比数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 （2）等比中项：若三数成等比数列（同号），反之不一定成立。 （3）通项公式： （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②为等比数列，公比为（下标成等差数列,则对应的项成等比数列） ③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列； ④若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列. 三、裂项相消基础知识过关 一、单选题 1．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，