专题11 数列通项公式an的求法（典型例题+跟踪训练）-【解答题抢分专题】备战2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题11 数列通项公式的求法 目录一览 一、梳理必备知识 二、典型例题讲解 三、基础知识过关 四、解题技巧实战 五、跟踪训练达标 六、高考真题衔接 一、梳理必备知识 1.数列通项公式的求法之累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和; ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和. 2.数列通项公式的求法之累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 3.数列通项公式的求法之构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型； ㈡形如型. 4.数列中与之间的关系： 注意通项能否合并。 5.等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。 （2）等差中项：若三数成等差数列 （3）通项公式： 或 （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②下标为等差数列的项，仍组成等差数列； ③数列（为常数）仍为等差数列； ④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列。 ⑤若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列。 6.等比数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 （2）等比中项：若三数成等比数列（同号），反之不一定成立。 （3）通项公式： （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②为等比数列，公比为（下标成等差数列,则对应的项成等比数列） ③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列； ④若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列. 二、典型例题讲解 【典例1】 在数列中，，.求的通项公式. 【典例2】 已知数列{}，，，求通项公式. 【典例3】 已知数列中，，且对任意，都有． (1)求数列的通项公式； 【典例详解】 【典例1】【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】因为， 所以当时，（累加后转化为等差数列求和，注意项数和等差数列前n项和公式的使用） ， 又适合上式， 所以. 【典例2】【答案】＝ 【分析】由题得＝，再利用累乘法求解. 【详解】∵，，∴＝. ∴＝ (n≥2)． 以上各式相乘，得.∵＝ (n≥2)（累乘后中间项会消去，注意化简和遗留项） 又＝1满足上式，∴＝(n∈N*)． 【典例3】【分析】(1)构造等比数列求通项； 【详解】（1）由得（两边同时减1构造等比数列，需要有写证明题的部分经验和基础） 又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. 解题技巧：累加法、累乘法都有其固定的形式，写题的时候注意化简甄别即可。注意无论累加还是累乘都需要相当的数列求和基础知识。而构造法主要是通过证明题感受思路，拥有经验后解题就思路清晰了！ 三、基础知识过关 一、单选题 1．已知等差数列满足，若为的前n项和，则（    ） A．45 B．54 C．63 D．90 2．已知等差数列的前项和，若，则（      ） A．150 B．160 C．170 D．与和公差有关 3．在等差数列中已知，，则的前17项和为（    ） A．166 B．172 C．168 D．170 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（    ） A．7 B．12 C．15 D．31 6．已知等比数列的前项和为，，且，则（    ） A．40 B．120 C．121 D．363 二、填空题 7． ______． 8．已知数列的通项，则其前项和为_________． 9．已知数列满足，为其前项和，若，则________. 10．已知为等比数列，是其前n项和，若，，则______________． 四、解题技巧实战 【技巧实战】 1.已知数列的首项为，__________，求其通项公式. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并求解.（注：请将①②③中的条件都分别带入求解！） 五、跟踪训练达标 1．（黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学（文）试题）已知数列满足，． (1)求，； (2)求数列的通项公式． 2．（全国高三题型训练）已知数列满足，，，求通项公式． 3．（甘肃省酒泉市敦煌中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题）已知数列为等比数列，，，． (1)求； (2)若数