专题01三角形的证明（知识串讲+热考题型）-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题01三角形的证明 一．直角三角形全等的判定（共3小题） 二．角平分线的性质（共2小题） 三．线段垂直平分线的性质（共3小题） 四．等腰三角形的性质（共3小题） 五．等腰三角形的判定（共3小题） 六．等腰三角形的判定与性质（共5小题） 七．等边三角形的性质（共4小题） 八．等边三角形的判定（共4小题） 九．等边三角形的判定与性质（共3小题） 十．直角三角形的性质（共4小题） 十一．含30度角的直角三角形（共3小题） 十二．勾股定理（共5小题） 十三．勾股定理的证明（共4小题） 十四．勾股定理的逆定理 十五．反证法 十六．四种命题及其关系（共1小题） 知识点一、等腰三角形 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 2.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 5.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 6.等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形.　　 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形． 7.等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 8.等边三角形的判定： 　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 9.反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法 用反证法证题的一般步骤 1.假设:先假设命题的结论不成立 2.归谬:从这个假设出发应用正确的推论方法得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确从而肯定命题的结论正确 知识点二、直角三角形 1. 直角三角形全等的判定 （1）直角三角形全等一般判定定理： 直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS) （2）直角三角形全等的HL判定定理： 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL） 综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL. 2.直角三角形的性质 定理：直角三角形的两个锐角互余； 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 3.勾股定理 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边； 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方； 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形； 勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等） 勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17. 4.逆命题与逆定理 （1）一个命题（定理）的逆命