期中重难点特训（三）之平行四边形中的存在性问题专训-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

期中重难点特训（三）之平行四边形中的存在性问题专训 【重难点题型】 1．（2022春·北京·七年级校考期中）已知：如图，正方形ABCD中，AB=4，AC，BD相交于点，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC， CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①△OEF始终是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是2； ③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是； ④四边形OECF的面积始终是4． 所有正确结论论的序号是（   ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证明≌，即可得出①是正确的；设BE=CF=x，则EC=4-x，其中，表达出△OEF面积，用二次函数求出最小值，进行比较即可判断②是正确的；假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是，求出EF的长度即可说明③是正确的；根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出④正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ，45°，90°， 在和中， ， ≌， ∴OE=OF， ∴， ∴90°， 又∵OE=OF， ∴△OEF是等腰直角三角形，故①正确； ∵≌， ∴设BE=CF=x，则EC=4-x，其中 ， 在Rt△EFC中， ， 在Rt△EFO中，， ∴， ∴， ， ， ∴当x=2时△OEF的面积取得最小值2，故②正确； 假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是； ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： ， ∴BE=CF=或BE=CF=时，△ECF的周长是， ∴至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是，故③正确； ∵≌， ， 故④正确； 故选D． 【点睛】此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 2．（2021·广西贵港·统考三模）如图，在正方形中，动点在边上（点与点不重合），的平分线与边交于点，与边的延长线交于点，连接．对于下列四个结论：①；②若，则；③若，则；④存在点，使点与点关于直线对称．其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质，平行线性质可证明结论①；通过证明可得结论②；通过证明可得结论③；结论④不能证明． 【详解】解：∵AF平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； 如图1，若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； 若，如图2， 由结论①可知：， ∴M是AF的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故结论③正确； 只有当点E和点B重合时， 才有点与点关于直线对称， 与题意冲突， 故结论④错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质,含的直角三角形等知识点，根据已知情景，寻找对应全等三角形是解题关键． 3．（2022秋·九年级课时练习）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如下图，△BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E作AC的对称点F，连接FB，则FB就是BP+PE的最小值． 【详解】如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G ∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点 ∴BE=2 ∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60° ∵点F是点E关于AC的对称点 ∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上 则CF=CE=2 ∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2 ∴∠BEG=60° ∴在Rt△BEG中，EG=1，BG= ∴FG=1+2=3 ∴在Rt△BFG中，BF==2 根据分析可知，BF=PB+PE ∴△PBE的周长=2 故选：C 【点睛】本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE的长转化为FB的长． 4．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．在上存在一动点．连接、，则周长的最小值是___________． 【答案】 【分析】分两步讨论：①先确定点的位置，当、、三点共线时，有最小值，②当、、三点共线时，有最小值，确定动点的位置；在计算此时的周长即可． 【详解】解：分两步： ①连接，则， ∴周长 ∵, 当、、三点共线时，有最小值，是的长， ∴与的交点就是点, 由勾股定理得：， ②连接 ∵， ∴当、、三点共线时，有最小值， 此时，∵时的中点， ∴, ∴, 由折叠