8.3 简单几何体的表面积与体积-【三维同步讲练】2022-2023学年高一数学同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教A版2019必修第二册）

8.3 简单几何体的表面积与体积 1.掌握柱体、锥体、台体、球的表面积及体积公式，能利用简单几何体的表面积公式与体积公式进行相关的面积与体积的运算. 2.会求简单组合体的表面积和体积，能通过直观图解决球的截面问题，球与几何体的切与接的问题. 3.会利用常见几何体的面积与体积公式进行简单几何体的长度与角度的简单运算. 解读：通过本节课的学习，掌握求简单几何体与组合体的面积与体积的方法，能利用相关的公式求简单几何体的长度与角度 知识点1　 多面体的侧面积、表面积和体积★★★ 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积． 2．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 （1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个平行四边形 、三角形 、梯形所组成的．侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）．由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和． （2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有侧面和底面展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积．可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为： ，，． 3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积 （1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形．如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为 ch (c为底面周长，h为侧棱长)． （2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形．如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为ch′(c为底面周长，h′为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高)． （3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形． 如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为(c+c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高，即侧面等腰梯形的高)． 二、柱体、椎体、台体的体积 1．柱体、椎体、台体的高 （1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．圆柱的母线即圆柱的高． （2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离． （3）棱台（圆台）的高是指两个底面之间的距离． 2．柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体= Sh (S为底面面积，h为高)，V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥=πr2h (r为底面半径，h为高) 台体 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高) 【例题精析1】 某正四棱台容器两个底面边长分别为和，容积为19升，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【解答】设正四棱台的高为，则, ,故选：D 【例题精析2】 已知棱柱的底面积为，高为，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【解答】根据棱柱的体积公式可得，.故选：D 【例题精析3】 《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【解答】如图所示，原长方体， 设矩形的面积为，， 鳖臑的体积为， 即，所以， 即原长方体的体积是. 故选：B 【例题精析4】 已知正三棱锥的侧面积为，高为，则它的体积为___________. 【解答】如图：正三角形ABC，边长为a，内切圆的半径为r，下面推导a与r的关系： E为BC的中点，O是内切圆的圆心，则 ， ， ； 设正三棱锥的底面边长为，斜高为 ，底面内切圆半径为， 因为正三棱锥的侧面积为，高为，所以 ， 又 ，所以，解得， 所以底面积 ，所以它的体积为 ； 故答案为： . 【例题精析5】 棱柱的底面是边长为的正方形，且，，则此棱柱的体积为______． 【解答】设和交于点，中，，，则 同理 中，，，则 中，，，则，即，，过作底面，垂足在对角线上， 在中，，，则 此棱柱的体积为故答案为： 【例题精析6】 已知底面边长为的正三棱柱侧面积为，则其体积为______. 【解答】设正三棱柱的高为，则，解