专题03 活用正余弦定理玩转三角形-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题03 活用正余弦定理玩转三角形 【考点预测】 1、正弦定理 （其中为外接圆的半径）． 常用变形： （1）； （2）； （3）； （4），，． 2、余弦定理 ，，， ，， 3、三角形中的常见结论 （1）． （2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：． （3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边． （4）的面积公式 ①（ 表示边上的高）； ②； ③（为内切圆半径）； ④，其中． 4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 5、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． （3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （4）坡度＝，即坡角的正切值． 【典型例题】 例1．（2023·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【解析】（1）由题意及正弦定理知，， ， ，. （2）， 又， 由①，②可得， 所以的周长为. 例2．（2023·高一单元测试）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若，求的面积. 【解析】（1）由， 得， 即， 所以由正弦定理及余弦定理， 得， 化简得. （2）由余弦定理，得， 所以， 即①. 又由①知② 联立①②，得， 所以， 即的面积为. 例3．（2023·高一单元测试）设内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角的大小 (2)若，求的面积． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得，即，则， 又，所以． （2）因为，，， 由，得，即， 又，所以，则， 所以 ， 所以． 例4．（2023·高一单元测试）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【解析】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. （2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 例5．（2023·高一单元测试）已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且. (1)求； (2)若，的面积为，且，求线段的长. 【解析】（1）因为，所以.   由正弦定理，得，即，   由余弦定理，得. 因为，所以. （2），解得. 因为，所以为的三等分点，，则， 所以，. 例6．（2023·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，，求c的长． 【解析】（1）因为中，， 所以， 又， ∴，又， 所以； （2）由余弦定理， 所以， ∴． 例7．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答． 已知中，内角所对的边分别为，且________． (1)求的值; (2)若，求的周长与面积． 【解析】（1）若选①:由正弦定理得， 故， 而在中，， 故，又， 所以，则， 则， 故． 若选②:由，化简得，代入中，整理得， 即， 因为，所以，所以， 则， 故． 若选③:因为， 所以，即，则． 因为，所以， 则， 故． （2）因为，且， 所以． 由（1）得，则 ， 由正弦定理得，则． 故的周长为， 的面积为． 例8．（2023春·高一单元测试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求. 【解析】（1）证明：因为， 所以，又， ∴， 即， 又且为三角形内角，， 则，即. （2）由（1）知，， 由正弦定理可得，. 根据余弦定理可知，，， 联立可得，. 又，则，所以，则， 则， 又，则. 例9．（2023·高一单元测试）在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)已知点D在AC