专题02 平面向量范围与最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题02 平面向量范围与最值问题 【考点预测】 平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【典型例题】 例1．（2023春·陕西商洛·高一统考期末）已知向量，，满足，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可设，，， 则，， 则， ， ， 其中， ， 则， 故选：D. 例2．（2023春·山东济南·高一统考期末）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若，则a的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】设，所以点，，所以 ，即，当且仅当时取等号，所以a的最大值是1. 故选：A. 例3．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】以向量与为两边作△，，， 则 则在△中，即， 则，当且仅当即时等号成立. 故选：C 例4．（2023·高一单元测试）如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，, , 设，则，， 所以 ， 因为， 所以当时，取最小值，当时，取最大值4， 所以的取值范围是， 故选：B 例5．（2023·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】根据题意，当时，最小； 由， ， ∴ ，即， ∴ ， ∴当时，由面积法得 ，， 所以的最小值为. 故答案为： 例6．（2023·高一课时练习）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立； ，当且仅当、的方向相反时，等号成立. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 例7．（2023·高一单元测试）已知向量，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 设，则， 则， 化简得：， 方程有解，则， 化简得：， 当，， 所以， 所以不等式的解集为：. 故答案为：. 例8．（2023·高一课时练习）如图，已知是边长为的正六边形的一条边，点在正六边形内(含边界)，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】如图，取的中点， 由已知得：，则，， . 以为圆心， (为边的对边的中点)为半径作圆， 由正六边形的性质可知，该圆与边相切于点，且点为或点时，最大， 此时. ； 当与重合时，最小； ，即的取值范围为. 故答案为：. 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·福建宁德·高一统考期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， ，，，，， 在中，由正弦定理得：， ， ，， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 2．（2023春·天津·高一校联考期末）已知，，，；若P是△ABC所在平面内一点，，则的最大值为是（    ） A．17 B．13 C．12 D．15 【答案】B 【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得，，， ，， ，， ，当且仅当时，等号成立， 故选：B. 3．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（    ） A．（1，+∞） B．（-1，1） C．（-1，+∞） D．（-∞，1） 【答案】C 【解析】因为与同向，所以可设 则有，又因为，， 所以 所以的取值范围是(-1，+∞)， 故选：C. 4．（2023·高一课时练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D          二、多选题 5．（2023·高一单元测