专题01 平面向量的基本运算与线性表示-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题01 平面向量的基本运算与线性表示 【考点预测】 知识点一、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ， 知识点三、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 知识点四、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识点五、平面向量共线 （1）线性表示 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 （2）坐标表示 设，其中，则 知识点六、两个向量的夹角 1、定义 已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角． 2、范围 向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角． 3、向量垂直 如果向量与的夹角是，则与垂直，记作． 知识点七、平面向量的数量积 1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角． 规定． 当时，，这时 2、的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点八、数量积的运算律 （1）交换律：． （2）分配律：． （3）对． 知识点九、向量数量积的性质 1、如果是单位向量，则． 2、． 3、， 4、．（为与的夹角） 5、． 知识点十、数量积的坐标运算 设，则： 1、． 2、． 3、． 4、（为与的夹角） 【典型例题】 例1．（2023·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）如图，在中，，，直线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据图示可知，三点共线，由共线定理可知， 存在实数使得, 又，所以， 又三点共线，所以，解得， 即可得，所以， 所以，即，可得， 又，即可得. 故选：A 例2．（2023·辽宁锦州·高一统考期末）已知向量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， ， 又，所以，解得， 所以，则. 故选：A 例3．（2023·北京·高一北京师大附中校考期末）已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（    ） A．​ B．1 C．​ D．2 【答案】A 【解析】平面向量是非零向量，， ，则. 设与夹角为，则， 在方向上投影为. 故选：A 例4．（2023·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知为中点， 又为外接圆圆心，，， ， ，，， ∴在向量上的投影为：， 向量在向量上的投影向量为：． 故选：D． 例5．（2023·北京·高一北京师大附中校考期末）已知，，则（    ） A．1 B． C．2 D．或2 【答案】C 【解析】因为， 所以，. 故选：C. 例6．（多选题）（2023·辽宁营口·高一校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ） A．若，则存在实数，使得. B．若，则. C．若，则，反向. D．若，则，一定同向 【答案】ACD 【解析】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且， 则存在实数，使得，故选项A错误； 对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长， 则，故选项B正确； 对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误； 对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误； 综上所述：选项ACD错误， 故选：ACD. 例7．（2023·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则______. 【答案】 【解析】解:由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以, 所以 , 因为不共线,所以,故. 故答案为: 例