专题04 解三角形图形类问题（中线问题、角平分线问题）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题04 解三角形图形类问题（中线问题、角平分线问题） 【考点预测】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典例例题】 例1．（2023春·全国·高一专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边上，为的角平分线．． (1)求； (2)若，求的大小． 【解析】（1），，即 由正弦定理可得 ， 即 （2），即 设，则 ，解得 例2．（2023·高一课时练习）如图，已知△ABC内有一点P，满足． (1)证明：． (2)若，，求PC． 【解析】（1）证明： 在△ABP中，由正弦定理得， 即， 要证明，只需证明， 在△ABP中，， 在△ABC中，， 所以， 所以， 所以． （2）由（1）知，又因为，， 所以， 由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以， 则， 所以在△PBC中，， 由正弦定理得， 即， 即． 由余弦定理得， 由题意知， 故解得， 所以． 例3．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC． 【解析】（1）由， 得， 即， 由正弦定理，得， 整理，得， ∴， 又，∴，∴， 又，∴； （2）连接BD，因为，，， 所以，， 所以，所以． 又，所以， 在中，由正弦定理可得，即， 所以． 在中，由余弦定理可得 ， 所以． 例4．（2023春·全国·高一专题练习）在中，的角平分线与边相交于点，满足. (1)求证：； (2)若，求的大小. 【解析】（1）（1）证明：因为为的角平分线，故， 在中，由正弦定理可得：①， 在中，由正弦定理可得：②， 由①和②可得， 又，故， 可得：，即； （2）（2）由题意可知，，由（1）知，不妨设. 在中，由余弦定理可得：， 即③， 在中，由余弦定理可得：， 即④， 由又，故， 由③和④可解得：，， 从而可得，，， 在中，由余弦定理得：， 又，故. 例5．（2023·高一单元测试）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且. （1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积； （2）记为，为，求的值. 【解析】（1）因为，且角为钝角，所以. 在中，由余弦定理得，， 所以，即， 解得或（舍）， 所以小岛与小岛之间的距离为. ∵，，，四点共圆，∴角与角互补， ∴，， 在中，由余弦定理得：， ∴， ∴. 解得（舍）或. ∴ . ∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方. （2）在中，由正弦定理，，即， 解得 又因为， 所以，且为锐角，所以为锐角， 所以，又因为，， 所以. 例6．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交边于点． （1）求的长； （2）若，求的值． 【解析】（1）在中，， 整理得， 即，所以或． （2）因为，由（1）得， 所以． 在中，由余弦定理得． 所以． 由，得． 在中，由正弦定理得， 即， 所以． 例7．（2023春·陕西西安·高一西安市第六中学校联考阶段练习）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③