专题11 正方形（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年八年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题11 正方形 【思维导图】 1、定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. ◆正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形； ◆正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即：正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形. 2、性质： ◆具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即 ①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ④正方形式轴对称图形，有四条对称轴； 3、 正方形的面积计算：①边长的平方；②对角线平方的一半； 4、 正方形特有的性质： ①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形； 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； ②周长相等四边形中，正方形的面积最大. 正方形判定方法： 定义法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四边形法 有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 平行四边形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 矩形法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 平行四边形、矩形、菱形、正方形间转化关系和包含关系 ◎考点题型1：根据性质求角 例．（2023秋·重庆江北·九年级统考期末）如图，已知正方形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，正方形中，点是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式3．（2022秋·河南南阳·八年级校考期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则（    ） A．135° B．125° C．120° D．90° ◎考点题型2：根据性质求线段长 例．（2023春·八年级课时练习）如图，点在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为3，4，H为线段的中点，则的长为（　　） A．3 B．4 C．3或4 D． 变式1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，作于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市雅礼实验中学校考开学考试）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=5cm，接着把活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（       ） A．5cm B．cm C．10cm D．15cm 变式3．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为（    ） A．﹣1 B． C．2﹣2 D．1 ◎考点题型3：根据性质求面积 例．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）七巧板是中国一种传统益智玩具，用七巧板可以拼出许多有趣的图案．小江将图①的七巧板拼成图②“奔跑的少年”．已知，则图②中“少年的头部”（小正方形）的面积为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023春·八年级课时练习）正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　） A．保持不变 B．一直变小 C．先变小后变大 D．先变大后变小 变式2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知正方形的面积为平方厘米，厘米，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形，则它们的公共部分的面积等于（    ） A．1﹣ B．1﹣ C． D． ◎考点题型4：正方形折叠问题 例．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，正方形纸片的边长为5，点和点分别在边与上，将、分别沿，折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D．5 变式1．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若，则线段CH的长是（