7下第09章 三角形-2023年七年级数学冲刺满分压轴题（冀教版）

冀教版7下第9章 三角形 满分冲刺压轴题 1．（2023春·七年级课时练习）已知直线，点E，F分别在直线上，．点P是直线上的动点（不与E重合），连接，和的平分线所在直线交于点H． (1)如图1，若，点P在射线上．则当时， ； (2)如图2，若，点P在射线上． ①补全图形； ②探究与的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，若，直接写出与的数量关系（用含α的式子表示）． 【答案】(1)25 (2)①见解析；②，见解析 (3)或 【分析】（1）根据图形1，由平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可； （2）①先根据（1）中作法补全图形；②根据平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理得出与的数量关系； （3）分点P在射线上和点P在射线上两种情况，平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，点P在射线上，， ∴， ∴， ∵、分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：25； （2）①若，点P在射线上， 补全图形，如图所示： ②与的数量关系是，证明如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）若，则与的数值关系是： 或． 点P在射线上时， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 点P在射线上时， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，与的数值关系是或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，关键是对这些知识的掌握和运用． 2．（2023春·江苏·七年级专题练习）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB, （1）如图，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线， ①点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小． ②如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C′，则∠ABO＝　 　°；如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C′′，则∠ABO＝　 　°． （2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数． 【答案】（1）①∠ACB的大小不变，∠ACB=45°；②30°，60°；（2）∠ABO为60°或72°． 【分析】（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论； ②由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论； （2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分两种情况进行分类讨论． 【详解】解：（1）①∠ACB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠PAB+∠ABM=270°， ∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线， ∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°， ∴∠ACB=45°； ②∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上， ∴∠CAB=∠BAQ， ∵AC平分∠PAB， ∴∠PAC=∠CAB， ∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°， ∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上， ∴∠ABC=∠ABN， ∵BC平分∠ABM， ∴∠ABC=∠MBC， ∴∠MBC=∠ABC=∠ABN， ∴∠ABO=60°， 故答案为30°，60°； （2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF=90°．   在△AEF中，∵有一个角是另一个角的倍，故有： ①∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°； ②∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°； ∴∠ABO为60°或72°．