7下第06章 二元一次方程组-2023年七年级数学冲刺满分压轴题（冀教版）

冀教版7下第6章 二元一次方程组 满分冲刺压轴题 1．（2021秋·福建三明·八年级统考期末）有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题∶ 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题∶ （1）已知二元一次方程组则______，______． （2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ （3）对于实数、，定义新运算∶，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______． 【答案】（1）4，2；（2）21元；（3）24 【分析】（1）让两个式子相加即可求出，然后让两个式子相减即可求出； （2）设购买1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，根据题意列出方程组求解即可； （3）首先根据已知建立一个关于a，b，c的方程组，通过对方程变形即可得出答案． 【详解】（1） ①-②得， ①+②得， ∴； （2）设购买1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元， 根据题意得 ①②得：， ∴， 答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元． （3），， ①-②得， ②×3-①×2得， ， ． 【点睛】本题主要考查解方程组及整体代入法，掌握解方程组的方法是关键． 2．（2022春·福建泉州·七年级校考期中）要用白卡纸做成长方体包装盒，现有三种裁剪方式： 方式一：每张白卡纸可裁剪成个侧面： 方式二：每张白卡纸可裁剪成个底面： 方式一：每张白卡纸可裁剪成个侧面和个底面． 已知个侧面和个底面配套做成一个包装盒． （1）若用张白卡纸按方式一裁剪成侧面，用b张按方式二裁剪成底面，这样正好配套，那么与应满足的关系式是 ． （2）采用方式一、方式二共裁剪张白卡纸，求每种方式各裁剪几张才能正好配套： （3）采用上述三种方式共裁剪张白卡纸，使裁剪出的侧面和底面正好配套．请求出所有的裁剪方案，并说明哪种方案做成包装盒数量较多． 【答案】（1）a=b；（2）方式一裁剪6张，方式二裁剪8张；（3）方案一：方式一4张，方式二8张，方式三8张；方案二：方式一8，方式二11张，方式三1张；方案二做出的包装盒数量最多 【分析】（1）分别得出两种方式做出的侧面和底面数，根据个侧面和个底面配套做成一个包装盒即可得到关系式； （2）设采用方式一裁剪x张白纸，根据题意列出方程，解之即可； （3）设方式一裁剪m张，方式二裁剪n张，方式三裁剪20-m-n张，列出二元一次方程，求出整数解，从而判断． 【详解】解：（1）用a张白卡纸按方式一裁剪成侧面，则可裁剪成2a个侧面， 用b张按方式二裁剪成底面，则可裁剪成3b个底面， ∵个侧面和个底面配套做成一个包装盒， 则3b=4a，即a=b； （2）设采用方式一裁剪x张白纸，则设采用方式二裁剪14-x张白纸， 则4x=3（14-x）， 解得：x=6， ∴方式一裁剪6张，方式二裁剪8张才正好配套； （3）设方式一裁剪m张，方式二裁剪n张，方式三裁剪20-m-n张， 由题意可得： 2（2m+20-m-n）=3n+20-m-n， 则：20+3m=4n， 即：， ∴m只能取4，8，12，16，20， 当m=4时，即方案一：方式一4张，方式二8张，方式三8张，可裁剪出16套； 当m=8时，即方案二：方式一8，方式二11张，方式三1张，可裁剪出17套； 当m=12时，即方式一12张，方式二14，方式三，不符合； ∴共有两种方案，其中方案二做出的包装盒数量最多． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，同时考查了整数的性质． 3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知的平方根是，的立方根是.求的值. 【答案】24 【分析】先利用平方根和立方根的定义得出关于和为未知数的方程组，求解后代入即可求值.也可以不解方程组用整体思想求值. 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是 ∴， 整理并联立成方程组： 解这个方程组得： 把代入 4．（2019春·七年级单元测试）为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗”游，旅游团住村民家，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间每人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，旅游团如何安排住宿才能够使得住宿费最低，并说