7上第02章 几何初步-2023年七年级数学冲刺满分压轴题（冀教版）

冀教版7上第2章 几何图形的初步认识 满分冲刺压轴题 1．（2017秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从点O出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE． （1）求证：△CDE是等边三角形（下列图形中任选其一进行证明）； （2）如图2，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析；(2) 存在，当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCA=∠ECB，由等边三角形的判定可得结论； （2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE， ∴∠DCE=60°，DC=EC， ∴△CDE是等边三角形； （2）解：存在， ①当0≤t＜6s时，由旋转可知，，， 若，由(1)可知，△CDE是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2， ∴t=2÷1=2s； ②当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°， ∴此时不存在； ③ t = 10s时，点D与点B重合， ∴此时不存在； ④ 当t＞10s时，由旋转的性质可知， ∠CBE=60° 又由（1）知∠CDE=60°， ∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC， 而∠BDC＞0°， ∴∠BDE＞60°， ∴只能∠BDE=90°， 从而∠BCD=30°， ∴BD=BC=4cm， ∴OD=14cm， ∴t=14÷1=14s； 综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．（2019秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图，的方向是北偏东，的方向时北偏西． （1）若，则的方向是 ； （2）是的反方向延长线，的方向是 ； （3）若，请用方位角表示的方向是 ； （4）在（1）（2）（3）的条件下，则 ． 【答案】（1）北偏东；（2）南偏东；（3）南偏西或北偏东；（4）或 【分析】（1）利用方位角先求出∠AOB的度数，然后确定OC的方向； （2）直接由OB的方向得到OD的方向； （3）根据题意，OE的方向有两种情况，分别求出两种情况的方向角即可； （4）由（3）可知OE的方向，结合方位角的运算，即可求出的度数. 【详解】解：（1）∵的方向是北偏东，的方向时北偏西． ∴， ∴， ∴， ∴的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵的方向时北偏西，且是的反方向延长线， ∴的方向是南偏东40°； 故答案为：南偏东40°； （3）根据题意，如图： ∵， ∴点E的位置有两种情况： 当OE在东北夹角时，有 ， ∴OE的方向为：北偏东50°； 当OE在西南夹角时，有 ， ∴OE的方向为：南偏西50°； 故答案为：北偏东50°或南偏西50°； （4）由（3）可知， 当OE为北偏东50°时， ； 当OE为南偏西50°时， . 故答案为：或. 【点睛】本题考查了方位角的运算，解题的关键是熟练掌握方位角，正确求出线段的方向. 3．（2016·七年级课时练习）如图,已知∠1,∠2,画出一个角,使它等于3∠1-∠2. 【答案】见解析 【详解】试题分析：要作一角等于3∠1-∠2，就须先以O为顶点，以OA为一边作∠AOD=3∠1，然后在∠AOD的内部以∠AOD的一边为边作一个角等于∠2即可． 试题解析：(1)以∠1的顶点O为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点E、F (2)在弧上依次截取，并使. (3)自O点过H点作射线OD，则∠AOD即为3∠1. (4)以∠2的顶点为圆心，适当长为半径画弧交∠2的两边于M′、N′两点. (5)以O为圆心，以同样长为半径画弧交OA于点M. (6)以M为圆心，以M′N′为半径画弧交前弧于点N. (7)自O点为N点作射线OC. ∠COD即为所求. 点睛：此题主要考查作一个角等于已知角的作法，注意两个角的和要在已知角的外部画，两角的差要在已知角的内部画. 4．（2018秋·七年级单元测试）如图，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP：BP＝2：3，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，求绳子的原长． 【答案】(1)150cm (2)绳子的原长为150