专题07 导数与函数的单调性（重难点突破）-【课后优辅导】2023年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 导数与函数的单调性 一、考情分析 二、考点梳理 1．函数的单调性与其导数的关系 在某个区间内，如果___________，那么函数在这个区间内单调递增；如果___________，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2．函数图象与之间的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些． 三、题型突破 重难点题型突破一、利用导数判断函数的单调性 （1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下： ①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论． （2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点． （3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接． 例1．（1）、若函数，则的单调增区间为（ ） A． B． C． D． （2）、（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、函数的单调递增区间（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023春·广东广州·高二广东番禺中学校考阶段练习）函数的单调递减区间为______． 例2、（2023·全国·高三专题练习）已知函数.求函数的单调区间 【变式训练2-1】、已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 重难点题型突破二、函数与导函数图象之间的关系 判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． 例3．（1）、（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（    ） A． B． C． D． （2）、若函数的图象如图所示，则函数的导函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】、（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】、（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）（多选题）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破三、导数在解决单调性问题中的应用 （1）已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题． （2）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解． 例4．（1）、（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是__________. （2）、（2023秋·福建南平·高二统考期末）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】、（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、（2023·全国·高二专题练习）（多选题）若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（    ） A．2 B．3 C． D．4 例5．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数，求证：当时，. 例6．已知函数.讨论的单调性； 例7．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性. 例8．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，时，恒成立，求实数k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 导数与函数的单调性 一、考情分析 二、考点梳理 1．