专题06 平面向量与三角形“四心”（重难点突破）-【课后优辅导】2023年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题06 平面向量与三角形“四心” 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）是的重心. （2）为的垂心. （3）为的内心. （4）为的外心。 三、题型突破 重难点题型突破1 三角形的“四心” 例1．（1）、（2017·山西·（文）），，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （2）、（2016·重庆·（理））已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的 A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 （3）、（2014·福建福州·（文））已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【变式训练1-1】、（福建省名校联盟优质校2022届高三第四次调研数学试题）给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【变式训练1-2】、（2010·湖北宜昌·高三阶段练习）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点 【变式训练1-3】、（2017·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足：，则一定为的 A．重心 B．边中线的三等分点（非重心） C．边中线的中点 D．边的中点 重难点题型突破2 平面向量中的最值问题 例2．（1）、（2021·河南·高三阶段练习（理））已知平面向量，，满足，，，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． （2）、（2022·山西太原·高三期末（理））已知向量满足，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-1】、（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知向量满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、（2021春·陕西渭南·高一校考期末）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________． 重难点题型突破3 奔驰定理的应用 例3．（1）、（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足. (1)证明：点为的垂心； (2)证明：. （2）、（2023春·山东·高一校联考阶段练习）（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【变式训练3-1】、（2021·江苏溧阳·高一期末）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ） A．为的外心 B． C． D． 【变式训练3-2】、（2021·全国·高一课时练习）梅赛德斯-奔驰（Mercedes-Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量与三角形“四心” 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）是的重心. （