专题05 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积（重难点突破）-【课后优辅导】2023年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题05 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数 任一向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 知识点三 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0., (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一； (3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 知识点四 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝， 其中a＝(x，y)，a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题。 三、题型突破 重难点题型突破1 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底． 例1．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 （2）．（2018春·重庆·高一重庆市彭水第一中学校校考期中）设，是平面向量的一组基底，则能作为平面向量的一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， （3）．（2023·全国·高一专题练习）（多选题）如图所示，是的边上的中点，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023·陕西安康·统考二模）如图，在矩形中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式训练1-3】、（2019春·安徽芜湖·高一校联考期中）如图，在△OAB中，点P在边AB上，且．则（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破2 平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)． (4)a·b＝x1x2＋y1y2. (5)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. 例2．（1）、（2023·全国·高一专题练习）（多选题）已知，，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． (2)．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，则向量的坐标为（    ） A．（0，4，-11） B．（12，16，7） C．（0，16，-7） D．（12，16，-7） (3)．（2022·全国·高一假期作业）已知，，则（    ） A． B． C． D． (4)．（2022·全国·高一假期作业）已知向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，则向量（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】、（2021·全国·高一单元测试）若向量，，，则___________. 【变式训练3-3】、（2023·云南·高二统考学业考试），则的坐标为__________. 【变式训练3-4】、（2023·高一课时练习）设，，，若，则______． 重难点题型突破3．平面向量数量积 1．平面向量数量积的有