专题03 利用导数研究函数的极值和最值-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题03 利用导数研究函数的极值和最值 1.函数的极值 ①极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． ②求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 2.函数的最值 ①最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. ②求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 考点一 函数的极值 1.函数的极值和导函数图象的关系 2.求函数的极值和极值点 3．已知极值或极值点求参数 考点二 函数的最值 1.求函数的最值问题 2.由函数的最值求参数 3.与最值有关的恒成立问题 考点三 函数单调性，极值和最值的综合应用 考点一 函数的极值 1.函数的极值和导函数图象的关系 例1．（2021春·河南郑州·高二郑州十九中校考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数在区间内单调递增；②函数在区间内单调递减；③函数在区间内单调递增；④当时，函数有极小值；⑤当时，函数有极大值，则上述判断中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③ 【答案】D 【分析】根据导函数在图象中的正负，判断函数的单调性，并判断是否存在极值． 【详解】根据导数图象，可知在区间内导函数小于0，此时函数单调递减， 在区间内导函数大于0，此时函数单调递增， 所以函数在区间内有增有减，①错误； 根据导数图象，可知在区间内导函数大于0，此时函数单调递增， 在区间内导函数小于0，此时函数单调递减， 所以函数在区间内有增有减，②错误； 函数在区间内导函数大于0，此时函数单调递增， 所以函数在区间内单调递增，③正确； 根据导数图象，可知在区间上单调递减， 在上单调递增，所以当时，函数有极大值，故④⑤错误. 故选：D. 例2．（2022春·湖南衡阳·高二统考期末）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．f(x)在上单调递增 B．f(x)有4个极值点 C．f(x)在上单调递减 D． 【答案】AC 【分析】根据给定导函数图象，确定导数值大于0、小于0的区间即可分析判断作答. 【详解】观察图象知，当时，，当时，， 函数在上单调递增，而，则在上单调递增，A正确； 在上单调递减，而，在上单调递减，C正确； 函数在处都取得极小值，在0处取得极大值，有3个极值点，B不正确； 因当时，，当且仅当时取“=”，即在上单调递减， 而，则有，D不正确. 故选：AC 例3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）（多选）观察图象，下列结论错误的有（    ）． A．若图中为图象，则在处取极小值 B．若图中为图象，则有两个极值点 C．若图中为图象，则在上单调递增 D．若图中为图象，则的解集为 【答案】ABD 【分析】选项A：若图为 图象，在左右单调性一致，不是极值； 选项B：若图为 图象，根据导数与0的大小判断单调性，判断极值. 选项C: 若图为 图象,根据图像的正负判断的正负，判断单调性. 选项D: 若图为 图象, 根据图像的正负判断的正负,解出的解集. 【详解】选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误； 选项B：若图为图象， 函数单调递减； 函数单调递增；函数单调递减； 函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误； 选项C: 若图为图象，则时，单调性相反，即 函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；当单调性一致，函数单调递增；故C正确； 选项D: 若图为 图象，，图像正负相反，时图像正负一致， 的解集为，故D错误； 故答案为：ABD. 例4．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）（多选）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ACD 【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确； 对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确； 对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处