专题02 利用导数研究函数的单调性-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题02 利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 2.求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 3.函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 考点一 函数图象与导函数图象的应用 1.由导函数确定原函数的图象 2.由原函数确定导函数的图象 考点二 利用导数求函数的单调区间 1.求不含参函数的单调区间 2.求含参函数的单调区间 考点三 已知函数的单调性求参数 1.在区间上单调递增（减） 2.在区间上单调 3.在区间上不单调 4.在区间上存在单调 考点一 函数图象与导函数图象的应用 1.由导函数确定原函数的图象 例1．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果. 【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数， 当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快， 当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢. B选项中的图象满足题意. 故选：B. 例2．（2005·江西·高考真题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数的图象，可得 当时，，则，则单调递增； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递增； 则单调递增区间为，；单调递减区间为 故仅选项C符合要求. 故选：C 例3．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）（多选）如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上，单调递增 B．在区间上，单调递增 C．在区间上，单调递增 D．在区间上，单调递增 【答案】BC 【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案. 【详解】由题图知当时，， 所以在区间上，单调递增，BC正确； 当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.在上递增，A错误； 当时，，所以在区间上，单调递减，D错误； 故选：BC 例4．（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据原函数图象判断AB选项，根据图象的凹凸性判断CD选项. 【详解】由导函数图象可知， ，且其绝对值越来越小， 因此函数的图象在其上任一点处的切线的斜率为负，并且从左到右，切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的图象大致如图所示． 选项A、B中，由的图象可知其割线斜率恒为负数，即与异号，故A正确，B不正确；选项C、D中，表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示和所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有， 故C不正确，D正确． 故选：AD． 例5．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数满足下列条件：①的导函数为偶函数；②在区间，，上单调递增，则的一个解析式为______.（答案不唯一） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，， ，再根据题意可得，进而得的一个解析式. 【详解】解：因为在区间，，上单调递增， 所以，当， ， 因为的导函数为偶函数， 所以，令，满足题意， 所以， 故答案为：（答案不唯一） 2.由原函数确定导函数的图象 例6．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． 【详解】由图象知的解集为，的解集为， 或， 所以或，解集即为． 故选：D． 例7．（2022秋·河北石家庄·高三校考期末）函数的图象如图，则导函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据原函数的单调性和导函数的关系即可求解. 【详解】由导数的几何