专题01 导数的概念，运算及切线问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题01 导数的概念，运算及切线问题 1.导数的概念 ①函数在处的导数 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． ②几何意义：函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 2.导数的运算 ①基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） ②导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． ③复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 考点一 导数定义的辨析 考点二 导数的运算 1.导数的四则运算 2．复合函数求导 考点三 导数的几何意义 1.“在”点的切线问题 2.“过”点的切线问题 3.已知切线（斜率）求参数 4.公切线问题 考点一 导数定义的辨析 例1．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）一个质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系可用表示，那么质点在秒时的瞬时速度是（    ） A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．4米/秒 【答案】D 【分析】根据导函数的几何意义，对进行求导代入即可. 【详解】解：因为函数，所以， 当时，， 故物体在秒时的瞬时速度为4米/秒． 故选：D 例2．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）正方形的面积及周长都随着边长的变化而变化，则当正方形的边长为3cm时，面积关于周长的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先求出面积y与周长x的函数关系式，然后利用导数的概念即可求解. 【详解】易得正方形的面积y与周长x的函数关系为， 求导得，边长为3，即，故． 故选：B. 例3．（2023·全国·高二专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案. 【详解】由图知：，即. 故选：A 例4．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）设，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】B 【分析】根据导数的定义进行转化即可. 【详解】，. 故选：B 例5．（2022·高二课时练习）已知函数. (1)计算从到的平均变化率，其中的值分别为①2，②1，③0.1，④0.01； (2)当的值越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 【答案】(1)①6，②5，③4.1，④4.01. (2)平均变化率越来越趋近于常数4 【分析】（1）根据平均变化率的定义计算可得，分别将的不同取值代入即可求得其平均变化率； （2）由平均变化率的几何意义可知，当趋近于0时，其平均变化率越来越趋近于在处的瞬时变化率4. 【详解】（1）从到的平均变化率为, ①当时，函数在上的平均变化率为4+2=6. ②当时，函数在上的平均变化率为4+1=5. ③当时，函数在上的平均变化率为4+0.1=4.1. ④当时，函数在上的平均变化率为4+0.01=4.01. （2）由（1）中的结果可以看出，当的值越来越小时， 函数在区间上的平均变化率越来越趋近于常数4. 考点二 导数的运算 1.导数的四则运算 例6．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求解即可． 【详解】对于A选项，，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，，故D错误； 故选：B． 例7．（2023春·陕西西安·高二校联考阶段练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）首先将函数解析式变形，再根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【详解】（1） . （2），. （3） . 例8．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知函数，则（    ） A．－1 B．0 C．－8 D．1 【答案】C 【分析】求导，解得，得到求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 则， 解得， 则， 所以， 故选：C 例9．（2022·高二课时练习）下列求导运算中正确的个数是（    ） ①；            ② ③；         ④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据初等函数的导数公式表和导数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】根据导数的运算法则，可得，所以①不正确.； 由，所以②正确； 由是常数，所以，所以③不正确. 由，所以④不正确. 答案：B 例