专题04 含参函数单调性的讨论-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题04 含参函数单调性的讨论 1.含参函数单调性讨论的分类标准 ①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 2.含参函数单调性讨论的过程 确定参数的范围和函数的定义域，其次按照导函数的类型、导函数是否存在零点、零点是否在定义域内、零点的大小进行分类讨论 以下是对单调性一般步骤的讨论： 步骤 具体过程 注意 第一步 求函数的定义域 第二步 求函数导数，导函数是分式一般先通分，并且还要考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数得0和不得0 最高次项系数是否为0影响的是函数的类型 第三步 令，求出它的根 如果根不能被求解，并且导数不能被判断出正的或负的，那么我们就需要求函数的二阶导数，利用二阶导数的正负来确定一阶导数的单调性 第四步 确定分类点：①是否存在根；②根比较大小 判断根是否在定义域或指定区间内中 第五步 利用数轴穿根法判断分定义域的每个区间的导数的正负情况 第六步 综上所述 考点一 导为一次函数型 考点二 导为二次函数型 1.可因式分解型 2.不可因式分解型 考点三 导为一次指数函数型 考点四 导为二次指数函数型 考点五 导为对数函数型 考点一 导为一次函数型 例1．（2023·全国·模拟预测）已知函数． 讨论的单调性； 【详解】由题知函数的定义域为，． ①当时，，故恒成立，则在上单调递增． ②当时，令，解得，则在上单调递增； 令，解得，则在上单调递减． 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 例2．（2023·四川成都·统考二模）已知函数，其中，． 求函数的单调区间； 【详解】， ∵，， ∴当时，恒成立，函数在上单调递增． 当时， 当时，；当时，． 函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 例3．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数. 求函数的单调区间； 解：，则. 当时，，在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则. 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为. 例4．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知函数． 讨论函数的单调性； 【详解】的定义域为. 当时，在上单调递增； 当时，由，得或（舍去）， 当时，，函数单调递增， 当，，函数单调递减， 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 例5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数． 求函数的单调区间； 【详解】函数定义域为， ∵，∴． ①当时，在上恒成立， 即函数的单调递减区间为． ②当时，，解得， 当时，， ∴函数的单调递增区间为， 当时，， ∴函数的单调递减区间为． 综上可知： ①当时，函数的单调递减区间为； ②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 考点二 导为二次函数型 1.可因式分解型 例6．（2023·四川泸州·统考二模）已知函数，． 求函数的单调减区间； 【详解】 当时，，函数在上单调递增，无减区间； 当时，，得，即函数的单调减区间为； 当时，，得，即函数的单调减区间为； 综上，当时，无减区间；当时，函数的单调减区间为； 当时，函数的单调减区间为； 例7．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数. 讨论的单调性； 【详解】由题意可得：的定义域为，且， 注意到，则有： ①当时，， 令，解得；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，解得或， 若，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 若，即时，则在定义域内恒成立； 故在上单调递增； 若，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述： 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 例8．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数. 讨论函数的单调性： 由可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调