第一部分 第三板块 层级(二) 微专题(一) 球的切、接问题与截面问题(课件PPT)-【新高考方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题增分方略（老教材）

[典例]　(2022·徐州、淮安、宿迁、连云港模拟)已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则a的最大值为________． 处理球的“切”问题的求解策略 与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切于多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． 命题点(二)　几何体的外接球　 空间几何体的外接球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题. [关键点拨] 切入点 由球的体积求球的半径，设正四棱锥的底面边长a及高h，利用两个直角三角形建立关于a，h的方程组，用l表示h，a 迁移点 看清球中的优美直角三角形，并适时应用勾股定理 障碍点 不会构造函数，利用导数求体积的范围 多面体的外接球的求解策略 涉及球与棱柱、棱锥的问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，确定球心的位置，弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 2．(2022·韶关测试)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，则此球的体积为________． 命题点(三)　截面问题　 [典例]　(2022·焦作5月模拟)棱长为2的正四面体ABCD的外接球的球心为O，过点A，B，O的平面截四面体ABCD所得截面图形的面积为________． [关键点拨] 截面问题的解题关键 (1)弄清正方体和圆柱的基本截面，结合线、面平行的判定与性质定理与线、面垂直的判定与性质定理求几何体中截面问题；(2)建立函数模型求最值问题：①设元，②建立二次函数模型，③求最值；(3)猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等． 1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，若AC1⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面有以下结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状可能为正六边形；④截面形状可能为五边形．其中正确的结论为 (　 ) A．①② B．①③ C．②④ D.③④ 解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1B，A1D， BD，则AC1⊥平面A1BD，所以平面α与平面A1BD平行或重合， 所以平面α与正方体的截面形状可以是正三角形、正六边形， 但不可能是五边形和四边形，故①③正确． 答案：B　 解析：对于A，截面α可能为四边形或五边形，不能是六边形，A错误；对于B，若存在点N，使得BN⊥截面α，则BN⊥B1N，则N为CC1中点，此时BN与B1M不垂直，∴不存在点N，使得BN⊥截面α，B错误；对于C，当截面为平行四边形时，在平面C1B1BC内过点N作B1C1的平行线，交BB1于P，过点P作B1M的垂线，垂足为Q，连接NQ，则NP⊥平面AA1B1B， “课时验收评价”见“课时验收评价(二)” (单击进入电子文档) 22 微专题(一)　球的切、接问题与截面问题 命题点(一)　几何体的内切球　 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等． (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合． (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合． (4)棱长为a的正方体内切球半径为eq \f(a,2). (5)棱长为a的正四面体内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，即高的eq \f(1,4). [解析]　正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正方体棱长a最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球， 底面半径为2，母线长为4的圆锥轴截面正△SAB的内切圆O是该圆锥内切球O的截面大圆，如图， 正△SAB的高SO′＝eq \f(\r(3),2)SA＝2eq \r(3)，则内切圆O的半径即球半径R＝eq \f(1,3)SO′＝eq \f(2\r(3),3)， 则eq \r(3)a＝2R＝eq \f(4\r(3),3)，解得a＝eq \f(4,3)， 所以a的最大值为eq \f(4,3). [答案]　eq \f(4,3) 方法技巧 针对训练 1．已知△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为 (　 ) A.eq \f(49,36)π B.eq \f(576,49)π C.eq \f(576,25)π D.eq \f(345,25)π 解析：旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，过O作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，则OE