第一部分 第三板块 层级(二) 微专题(二) 立体几何中平行与垂直关系的证明(课件PPT)-【新高考方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(二)　立体几何中平行与垂直关系的证明 命题点(一)　空间中平行、垂直关系的证明　 [典例]　(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计 了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8 (单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为 正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)． [解]　法一：(1)证明：如图，分别取AB，BC的中点M，N， 连接EM，FN，MN， ∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8， ∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM＝FN. 又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD， 平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM⊂平面EAB，FN⊂平面FBC， ∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD， ∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形， ∴EF∥MN. 平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化． 证明：(1)由ABCD是正方形，可知AB∥DC， 而AB⊄面CDE，所以AB∥面CDE， 又AF∥面CDE，AB∩AF＝A， 所以面ABF∥面CDE， 又BF⊂面ABF，所以BF∥面CDE. 解：(1)证明：连接A1C，因为四边形ACC1A1是菱形，所以AC＝AA1， 因为∠A1AC＝60°，所以△AA1C为等边三角形，所以A1O⊥AC， 因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面ABC， 因为BC⊂平面ABC，所以A1O⊥BC， 求解平面图形“翻折”问题的方法 (1)分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口． (2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决． 命题点(三)　线面位置关系的探究性问题　 [典例]　如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为 矩形，BC＝CE，点F为CE的中点． (1)证明：AE∥平面BDF. (2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：如图， 连接AC交BD于点O，连接OF. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为AC的中点． 又F为CE的中点，所以OF∥AE. 又OF⊂平面BDF， AE⊄平面BDF，所以AE∥平面BDF. (2)当点P为AE的中点时，有PM⊥BE.证明如下： 如图，取BE的中点H，连接DP，PH，CH. 因为P为AE的中点，H为BE的中点，所以PH∥AB. 又AB∥CD，所以PH∥CD， 所以P，H，C，D四点共面． 因为平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面BCE. 又BE⊂平面BCE，所以CD⊥BE， 因为BC＝CE，且H为BE的中点， 所以CH⊥BE. 又CH∩CD＝C，CH⊂平面DPHC， CD⊂平面DPHC，所以BE⊥平面DPHC. 又PM⊂平面DPHC， 所以PM⊥BE. 与探索性问题有关的解题策略 (1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性． (2)涉及点的位置探索性问题，一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识找点． “课时验收评价”见“课时验收评价(三)” (单击进入电子文档) 25 又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)如图，分别取AD，DC的中点，P，Q，连接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD. 由(1)知EM⊥平面ABCD， FN⊥平面ABCD，同理可证得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM＝FN＝GQ＝HP＝4eq \r(3)，EM∥FN∥GQ∥HP. 易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD，所以PM⊥MN， 又PM＝QN＝MN＝PQ＝eq \f(1,2)BD＝4eq \r(2)，所以四边形PMNQ是正方形，所以四棱柱PMNQ-HEFG为正四棱柱， 所以V四棱柱PMNQ-HEFG＝(4eq \r(2))2×4eq \r(3)＝128eq \r(3). 因为AC⊥BD，BD∥PM，所以AC⊥PM. 因为EM⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以EM⊥AC. 又EM，PM⊂平面PMEH，