第一部分 第二板块 层级(二) 微专题(一) 数列求和(课件PPT)-【新高考方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(一)　数列求和 命题点(一)　分组转化法求和　 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论. [典例]　已知数列{an}满足4an＝3Sn＋1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设{bn－an}是等差数列，且b1＝2，b2＝6，求{bn}的前n项和Tn. 利用分组转化法求和的3个关键点 会列方程 即会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量 会用公式 会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式 会分组求和 观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列 命题点(二)　错位相减法求和　 若数列{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列，则求其积数列{an·bn}的前n项和，可以运用错位相减法. [关键点拨] 切入点 (1)根据an与Sn得关系，计算即可得出答案． (2)求出数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求和 障碍点 求Tn时错位相减法后得到等比数列，注意准确确定其项数 运用错位相减法求和的关键 判断模型 判断数列{an}，{bn}是不是一个为等差数列，一个为等比数列 错开位置 为两式相减不会看错列做准备 相减 相减时一定要注意最后一项的符号 解：(1)由Sn＋1＝2Sn＋1， 得Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)， ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1， ∴an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)． 又a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1， ∴a2＋a1＝2a1＋1，整理得a2＝2a1. ∴数列{an}是首项为1， 公比为2的等比数列， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 裂项相消之后，余项的基本特征 (1)前几后几：即前面的余式和后面的余式的个数相同； (2)前第几，后倒数第几：即余下的式子是对称的； (3)突破口：裂项是关键！注意检验裂项过程中的等号；可以把裂好的项通分，检验等号是否成立． “课时验收评价”见“课时验收评价(二)” (单击进入电子文档) 23 [解]　(1)∵4an＝3Sn＋1，∴当n≥2时，4an－1＝3Sn－1＋1，两式相减可得4an－4an－1＝3an，即an＝4an－1，当n＝1时，4a1＝3a1＋1，解得a1＝1. ∴数列{an}是以首项为1，公比为4的等比数列，∴an＝4n－1. (2)设等差数列{bn－an}的公差为d，∴b1－a1＝2－1＝1，b2－a2＝6－4＝2，∴d＝2－1＝1，∴bn－an＝1＋(n－1)×1＝n， ∴bn＝n＋4n－1. ∴{bn}的前n项和Tn＝eq \f(nn＋1,2)＋eq \f(1－4n,1－4)＝eq \f(n2＋n,2)＋eq \f(1,3)(4n－1)． 方法技巧 针对训练 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(n2＋n,2)，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(n2＋n,2)－eq \f(n－12＋n－1,2)＝n.a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝eq \f(21－22n,1－2)＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 2．(2022·菏泽二模)已知数列{an}中a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1. (1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(2n,3)))为等比数列； (2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n. 解：(1)证明：由2Sn＋an＋1＝2n＋1－1，　① 得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)，　② 由①－②，得an＋an＋1＝2n(n≥2)， 由an＋1＝－an＋2n⇒an＋1－eq \f(2n＋1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－\f(2n,3)))(n≥2)， 又当n＝1时，由①得a2＝1⇒a2－eq \f(22,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(2,3)))，