第一部分 第二板块 层级(二) 微专题(三) 数列中的不等关系(课件PPT)-【新高考方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题增分方略（老教材）

解决与数列有关的最值问题应注意以下几点 (1)数列是定义在N*或其子集上的特殊函数，因此树立函数意识解决数列问题是关键． (2)求解过程中注意项数n的取值范围． [关键点拨] 切入点 (1)由Sn与an的关系，即可求得数列{an}的通项公式； (2)利用错位相减法可求得{bn}的前n项和，再结合不等式关系，求k的范围 障碍点 不会应用数列的单调性及n∈N*判断数列的最值 解决与数列有关的恒成立问题，可以利用数列的单调性或者借助数列对应函数的单调性及基本不等式求解． (1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等． (2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩． “课时验收评价”见“课时验收评价(四)” (单击进入电子文档) 25 微专题(三)　数列中的不等关系 命题点(一)　与数列有关的最值问题　 [典例]　已知等比数列{an}满足a1＋a2＝20，a2＋a3＝80. (1)求{an}的通项公式； (2)令bn＝log2an，其前n项和为Sn，求eq \f(bn,Sn＋10)的最大值． [关键点拨] 切入点 (1)设等比数列{an}的公比为q，列方程组求通项公式． (2)由bn与an的关系求bn和Sn 迁移点 化简eq \f(bn,Sn＋10)后，构造函数，利用函数的单调性求解 障碍点 不注意目标代数式中n的取值限制，直接利用基本不等式求解，造成n∉N*而致误 [解]　(1)设{an}的公比为q(q≠0)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝20，,a1q＋a1q2＝80，))两式相除得q＝4，则a1＋4a1＝20，得a1＝4.所以{an}的通项公式为an＝4n. (2)因为bn＝log2an＝log24n＝2n， 所以bn＋1－bn＝2，b1＝2， 所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，bn＝2n. Sn＝2n＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2＋n， 所以eq \f(bn,Sn＋10)＝eq \f(2n,n2＋n＋10)＝eq \f(2,n＋\f(10,n)＋1). 令f(x)＝x＋eq \f(10,x)(x>0)， 求导易得f(x)在(0，eq \r(10))上单调递减，在(eq \r(10)，＋∞)上单调递增， 而3<eq \r(10)<4，且f(3)＝3＋eq \f(10,3)＝eq \f(19,3)，f(4)＝4＋eq \f(10,4)＝eq \f(13,2). 显然f(4)>f(3)，∴n＋eq \f(10,n)的最小值为eq \f(19,3)， 即eq \f(bn,Sn＋10)的最大值为eq \f(3,11). 方法技巧 针对训练 已知数列{an}的前n项之积为bn，且eq \f(a1,b1)＋eq \f(a2,b2)＋…＋eq \f(an,bn)＝eq \f(n2＋n,2)(n∈N*)． (1)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))和{an}的通项公式； (2)求f(n)＝bn＋bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n－1＋b2n的最大值． 解：(1)因为eq \f(a1,b1)＋eq \f(a2,b2)＋…＋eq \f(an,bn)＝eq \f(n2＋n,2)　①， 所以eq \f(a1,b1)＋eq \f(a2,b2)＋…＋eq \f(an－1,bn－1)＝eq \f(n－12＋n－1,2)(n≥2)　②， ①－②得eq \f(an,bn)＝n(n≥2)，eq \f(a1,b1)＝1也满足上式，所以eq \f(an,bn)＝n(n∈N*)　③， 所以eq \f(an－1,bn－1)＝n－1(n≥2)　④， 易知anbn≠0，③÷④得eq \f(anbn－1,bnan－1)＝eq \f(n,n－1)(n≥2)，又bn＝anbn－1，所以eq \f(1,an－1)＝eq \f(n,n－1)(n≥2)， 所以an－1＝eq \f(n－1,n)(n≥2)，所以an＝eq \f(n,n＋1). (2)由(1)可知an＝eq \f(n,n＋1)，则bn＝a1×a2×…×an＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×…×eq \f(n,n＋1)＝eq \f(1,n＋1)， 所以f(n)＝bn＋bn＋1＋…＋b2n＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n＋1)，则f(n＋1)＝eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,2n＋3)， 由f(n＋1)－f(n)＝eq