第一部分 第一板块 层级(二) 微专题(三) 解三角形综合问题(课件PPT)-【新高考方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　解三角形综合问题 命题点(一)　利用正弦、余弦定理解三角形　 (1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形． (2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． [典例]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S. (1)求角B的大小； (2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值． 1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. [关键点拨] 切入点 (1)设BC＝CD＝x>0，在△ABC，△ACD中分别利用余弦定理可得出关于x，cos B的方程组，解出cos B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值； (2)利用正弦定理可求得∠BPC的正弦值，再利用勾股定理求出PB，即可求得PA的长 隐藏点 B＋D＝π⇒cos D＝cos(π－B)＝－cos B在余弦定理中的应用 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． (2022·济宁二模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD·sin D＝2CD·sin B． (1)求证：BC＝2CD； (2)若AD＝BC＝2，∠ADC＝120°，求梯形ABCD的面积． 命题点(三)　解三角形中的最值与范围问题　 (1)解三角形中的最值与范围问题主要是求平面图形(一般为三角形或四边形)的面积、周长、边长等的最值或范围. (2)解题的关键在于根据题目条件恰当的表示目标函数，并选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式、二次函数等. 三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法 (1)利用基本不等式求得最大值或最小值； (2)将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围． [关键点拨] 切入点 通过作辅助线，将所求量转化到一个三角形中求A′B′ 关键点 正确的将AA′－CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′＋100 解三角形实际应用问题的步骤 2．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角；推动自行车来测距离(轮子滚动一周为1.753米)．该小组在操场上选定A点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈达到B点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55米，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为________米．(精确到0.1) “课时验收评价”见“课时验收评价(四)” (单击进入电子文档) 32 [解]　(1)由S＝eq \f(1,2)absin C及b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S， 得(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝3asin C. 由正弦定理得(a－b＋c)(a＋b＋c)＝3ac， 所以a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(ac,2ac)＝eq \f(1,2)， 因为0<B<π，所以B＝eq \f(π,3). (2)因为a2＋c2－b2＝ac，a＝b＋1，c＝b－2， 所以(b＋1)2＋(b－2)2－b2＝(b＋1)(b－2)， 解得b＝7，所以a＝8，c＝5. 所以cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(72＋52－82,70)＝eq \f(1,7)， cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(82＋72－52,112)＝eq \f(11,14). 方法技巧 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形． (3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝eq \f(1,2)absin C形式的面积公式． 针对训练 解：(1)由A＝2B，A＋B＋C＝π可得A＝eq \f