专题4.2 三角形全等的基本模型 专题讲练-2022-2023学年七年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）

专题4.2三角形全等的基本模型 专题讲练 专题前言 全等在初中数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就全等三角形中平移型全等、轴对称（翻折）型全等、旋转型全等、三垂直型全等、一线三等角型全等、手拉手型全等、半角模型、倍长中线模型、截长补短模型等经典模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 重要模型 模型1：平移模型 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 例1．（2022•襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是　 　； （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明． 【解题思路】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF； （2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可． 【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙； （2）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC， 在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）． 变式1. （2022·浙江杭州市·八年级期中）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）BE=3． 【分析】（1）根据平行线的性质由AB∥DE得到∠ABC＝∠DEF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF； （2）根据三角形全等的性质可得BC＝EF，由此可求出BE＝CF，则利用线段的和差关系求出BE． 【详解】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF， ∵BF＝11，EC＝5，∴BF－EC＝6．∴BE＋CF＝6．∴BE＝3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键． 模型2：轴对称模型 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 例2.（2022·湖南常德·八年级阶段练习）如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上． (1)求证：AC平分∠BAD；(2)求证：BE=DE． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）通过SSS证明，再根据全等三角形的性质即可得出，即可得出结论；（2）通过SAS证明，再利用全等三角形的性质证明即可． （1）在与中， ，， ，即AC平分∠BAD； （2）在与中， ，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 变式2. （2021·安徽·八年级期末）如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN． 【解题思路】利用已知条件先证明△DBC≌△EBC，再证明△AMD≌△ANE，即可解答． 【解答过程】解：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C， 在△DBC和△EBC中 ∴△DBC≌△EBC，∴∠BDC＝∠BDE， ∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，∴∠ADM＝∠AEN， 在△AMD和△ANE中∵∴△AMD≌△ANE∴AM＝AN． 模型3：旋转模型 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】 例3．（2022·浙江衢州·八年级期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【答案】(1