2.3从速度的倍数到向量的数乘（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

2.3从速度的倍数到向量的数乘 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：用已知向量表示相关向量 必会题型二：向量共线问题 必会题型三：利用向量解决三角形中的问题 必会题型四：向量的数乘综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 向量的数乘运算 1．数乘运算的定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，满足以下条件： (1)当时，向量与向量的方向相同； 当时，向量与向量的方向相反； 当时，． (2)． 这种运算称为向量的数乘． 【名师点睛】(1)在数乘向量中，实数称为向量的系数． (2)实数与向量可以进行数乘运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广，但不能进行加减运算，如均无意义． (3)当或时，均有，之亦真，即或． (4)在非零向量方向上的单位向量是．它表明一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量的单位化． 2．向量的数乘的几何意义 当时，表示向量的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的倍； 当时，表示向量的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的倍． 必会知识二 数乘运算的运算律 设为实数，为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下运算律： (1)； (2)； (3)． 利用相似三角形的性质，从图2-3-1，可以推出运算律(3)． 特别地，有． 【名师点睛】(1)数乘向量的结合律中要注意均为实数，不可以是向量． (2)数乘向量有两个分配律，一个是向量对实数的分配律，另一个是实数对向量的分配律． 必会知识三 向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．若一个向量由向量的线性运算得到，如，则称向量可以用向量线性表示． 【名师点睛】(1)向量线性运算的结果仍是一个向量； (2)向量的加法、减法、数乘运算的运算律在线性运算中仍然成立； (3)向量的线性运算可与多项式和多项式的运算类比，运算过程中，我们将同一个向量看作是一个多项式，相应的运算只是实数的运算，因此向量的线性运算基本上是代数式的运算． 必会知识四 共线(平行)向量基本定理 共线(平行)向量基本定理：给定一个非零向量，则对于任意向量，的充要条件是存在唯一一个实数，使． 【名师点睛】(1)是非零向量，可以是，这时． (2)当时，虽有与共线，但不存在实数使成立；当时，与显然共线，但实数不唯一，任一实数都能使成立． (3)对任意两个向量，若存在不全为0的实数对，使，则与共线．证明如下：若中至少有一个为零向量，结论显然成立；若均为非零向量，不妨设，则，说明与共线．但若向量不共线，当时，则一定有． (4)两个向量是否共线，关键看是否能找到一个实数，使0)．如果这样的实数不存在，那么这两个向量必不共线．应用向量共线定理很容易证明平面几何中三点共线和两直线平行等问题，但是向量平行与直线平行是有区别的，两向量平行包括两向量所在直线重合的情况，而直线平行不包括重合的情况． 必会知识五 直线的向量表示 如图2-3-2，已知两点确定一条直线，直线上任意一点所对应的向量与向量平行，从而可以用表示，即存在唯一实数，使得．这说明由一个点和一个非零向量可以唯一地确定过点与向量平行的直线． 通常可以用表示过点的直线，其中称为直线的方向向量． 必会知识五 利用向量方法解决三点共线问题 (1)利用向量共线定理证明三点共线的一般步骤： ①以三点中任意两个点为端点构造两个有共同端点的向量； ②证明两个向量满足向量共线定理，即存在唯一实数，使或成立； ③由两个向量有共同的端点得出结论：三点共线． (2)若向量的终点共线，则存在实数，且，使得，反之也成立． 【证明】如图6-2.3-2，若的终点共线，则，故存在实数，使得． 则存在，且，使得． 反之，若，其中成立，则． 于是有，即，三点共线， 即向量的终点在同一条直线上． 必会知识六 三角形的中线和重心的向量公式 (1)在中，若为的中点，则． 【证明】如图6-2.3-3，以为邻边构造平行四边形． 为的中点，为平行四边形对角线的交点， (2)在中，若为的重心，则． 【证明】如图6-2.3-4，延长至点，使， 显然四边形是平行四边形，则有． 为的重心，． 与的大小相等，方向相反， 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：用已知向量表示相关向量 1．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知向量在正方形网格中的位置如图，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·北京·高一北京市第二十二中学校考阶段练习）在中，点D在BC边上，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·陕西榆林·高一校考阶段练习）如