命题考向预测卷01-【大题一遍过】冲刺2023年新高考数学大题命题方向与技巧一遍过（新高考专用）

预测卷01 17．已知数列为首项的等比数列，且成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)数列满足，记和分别为和的前项和，证明：. 【解析】（1）设等比数列的公比为数列的公差为 由题知：， 所以，即，解得， 所以， 又，即， 解得（舍）或， 所以； （2）由，可得， 所以 ； （3）因为，所以， ， ， 则， 所以， ∴， 所以， 所以. 18．已知函数在区间单调，其中为正整数，，且． (1)求图像的一条对称轴； (2)若，求． 【解析】（1）因为函数在区间单调， 所以函数的最小正周期， 又因为， 所以直线即为图象的一条对称轴； （2）由（1）知，故，由，得或3． 由为的一条对称轴，所以． 因为，所以或， 若，则，即， 不存在整数，使得或3； 若，则，即， 不存在整数，使得或3．当时，． 此时，由，得． 19．异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF. (1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：. (2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离. 【解析】（1）因为在三棱锥中，平面PBC，， 所以易得两两垂直， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，故， 不妨设，，则，， 所以，即， 所以，，， 要证，只需证不是直线与的公垂线即可， 假设是直线与的公垂线，则， 故，即， 整理得，消去，得，即， 所以，不满足，故假设不成立， 所以. . （2）不妨设，则， 由（1）得，，， 因为，所以，则， 所以， 不妨设是直线与的公共法向量， 所以，令，则，，故， 设线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为， 则， 因为， 所以，即线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为. 20．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”)时，发现满足. （1）试确定的所有取值，并求； （2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖. （）求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率； （）已知学生和都获奖，记两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）根据题意，在内，按组距为5可分成6个小区间， 分别是， ， 由，. 每个小区间的频率值分别是. 由，解得. 的所有取值为，. （2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率. 由（1）知，学生的分数属于区间的概率分别是：，，，，，. 我们用符号（或)表示学生（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中. 记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件， 则 . （）学生最终获得一等奖的概率是， 学生最终获得一等奖的概率是， ， ， ， 的分布列为： . 21．过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为． (1)若，求； (2)若，求点到直线的距离的最小值． 【解析】（1）依题意，抛物线的焦点为，且其在抛物线内部，设直线的方程为， 由，得， 设，两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根， 所以 所以点的坐标为，， 同理可得的坐标为，， 于是， 又，所以． （2）结合（1）， 由抛物线的定义得，， 所以， 所以圆的半径， 所以圆的方程为 化简得， 同理可得圆的方程为， 于是圆与圆的公共弦所在直线的方程为， 又，则直线的方程为， 所以点到直线的距离， 故当时，取最小值． 22．已知函数，其中，为的导函数. (1)当，求在点处的切线方程； (2)设函数，且恒成立. ①求的取值范围； ②设函数的零点为，的极小值点为，求证：. 【解析】（1）时，,,,，所以函数在处的切线方程，即. （2）①由题设知，， ，， 由，得，所以函数在区间上是增函数； 由，得，所以函数在区间上是减函数. 故在处取得最小值，且. 由于恒成立，所以，得， 所以的取值范围为； ②设，则. 设， 则， 故