5.1.2 导数的概念及其几何意义（第2课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

导数的概念及其 几何意义 第五章 一元函数的导数及其应用 选择性必修第二册 授课人：XXX 第2课时 image: Freepik.com 1 学习目标 1 了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 2 核心素养 数学抽象 通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 1 数学运算 根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程. 2 课程导入 问题1 我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况. 那么导数的几何意义是什么？ 导数的几何意义 01 问题探究 问题2 观察函数的图象， 平均变化率 表示什么？ 问题探究 由函数的图象可知， ， 所以，平均变化率 表示割线的斜率. 问题探究 问题3 瞬时变化率 又表示什么？ 如图，在曲线上任取一点，当点沿着曲线趋近于点时，观察曲线的割线的变化情况. 问题探究 问题探究 曲线在点处的切线的定义： 在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在处的切线. 问题探究 问题4 此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？ 初中对圆的切线的定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 初中学过的圆的切线定义是从交点个数给出的定义，这一定义不具有普适性，不能真正反映切线的本质特征. 如直线与轴垂直时，直线与抛物线只有一个公共点，但此时直线与抛物线相交. 问题探究 问题4 此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？ 此处的切线定义通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，它适用于各种曲线，这种定义更具有普适性，能反映切线的本质特征. 问题探究 与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似， 割线的斜率 (记) 点 即 无限趋近于函数在处的导数 切线的斜率 问题探究 导数的几何意义： 函数在处的导数 曲线在点切线的斜率 问题探究 对导数的几何意义的理解 由于曲线在点切线的斜率， 则曲线在点切线方程为 如果切线的倾斜角为，那么. 若函数在点处的导数不存在，表明曲线在该点处没有切线，或切线为垂直于轴的直线. 如的图象在处的切线. 1 2 例题解析 求抛物线在点处的切线方程. 例1 解： 设切线的斜率为，则 所以切线方程为 ， 即 . 问题探究 问题5 观察下图，请指出哪条直线最贴近点附近的曲线？ 由图可知，点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线. 问题探究 问题探究 将点附近的曲线不断放大，可以发现点附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替. 以直代曲 例题解析 如图是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象. 根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况. 例2 0 分析 如何描述曲线在附近的变化情况？ 可用曲线在处的切线斜率来刻画在其附近的变化情况. 例题解析 解： 我们用曲线在处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况. （1）当时，曲线在处的切线平行于轴，. 这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降. （2）当时，曲线在处的切线的斜率. 这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减. 例题解析 （3）当时，曲线在处的切线的斜率. 这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减. 从右图可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢. 例题解析 在附近，切线的升降变化情况. 在附近，函数的增减情况. 数 形 例题解析 如图是人体血管中药物浓度(单位：mg/mL)随时间(单位：min)变化的函数图象. 根据图象，估计 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 例3 例题解析 解： 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率. 如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 例题解析 作处的切线，并在切线上取两点，如，，则该切线的斜率 所以 例题解析 故得出药物浓度的瞬时变化率的估计值. 药物浓度的瞬时变化率 类似的，可作处的切线，并在切线上取两点，如，，则该切线的斜率 所以 导函数 从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数. 这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）. 的导函数有时也记作，即 定义 导函数 问题6 函数在处的导数、导函数之间有什么区别和联系呢？ 区别 ① 是在处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量. ② 是函数的导函数，是某一区间内任意与其对应导数之间的对应