专题10 数列的证明（典型例题+跟踪训练）-【解答题抢分专题】冲刺2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题10 数列的证明 目录一览 一、梳理必备知识 二、基础知识过关 三、典型例题讲解 四、解题技巧实战 五、跟踪训练达标 六、高考真题衔接 一、梳理必备知识 1.等差数列的判定与证明方法 定义法 an－an－1=d(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列 等差中项法 2an＝an－1＋an+1(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列 2.等比数列的判定与证明方法 定义法 若＝q(n∈N*)或＝q(n≥2，n∈N*)，q为非零常数，则{an}是等比数列 中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 3.数列中与之间的关系： 注意通项能否合并。 4.等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。 （2）等差中项：若三数成等差数列 （3）通项公式： 或 （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②下标为等差数列的项，仍组成等差数列； ③数列（为常数）仍为等差数列； ④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列。 ⑤若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列。 5.等比数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 （2）等比中项：若三数成等比数列（同号），反之不一定成立。 （3）通项公式： （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②为等比数列，公比为（下标成等差数列,则对应的项成等比数列） ③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列； ④若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列. 二、典型例题讲解 【典例1】已知数列中，，. (1)证明:数列是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【典例2】已知数列满足， (1)求证：数列是等比数列； 【典例详解】 【典例1】 【分析】(1)根据已知条件，证明－为常数（等差数列的定义）即可； (2)根据(1)的结论和等差数列通项公式即可求的通项公式. 【详解】（1）由已知得，＝2，－＝＝＝2， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列. （2）由(1)知，＝＋2(n－1)＝2n，∴＝.       【典例2】 【分析】（1）根据题干条件构造出（等比数列的定义）进而证明出结论； 【详解】（1）证明∵ 得 ∴ ∴数列成等比数列. 解题技巧：学会分析条件，通过数列的定义找题目证明的目标，从目标出发或者化简题目中的条件一步一步向目标靠近，要注意学会使用拼凑的思路！ 三、基础知识过关 一、单选题 1．若数列满足，则数列是 （　　） A．公差为的等差数列 B．公比为的等比数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 2．设是数列的前项和，已知，则数列（    ） A．是等比数列，但不是等差数列 B．是等差数列，但不是等比数列 C．是等比数列，也是等差数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 3．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．数列中, 如果(1, 2, 3, …) ,那么这个数列是 A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．首项为3的等比数列 D．首项为1的等比数列 5．在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知为数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．设数列的首项，且满足，则_____________． 8．已知数列满足：，，则__________． 9．已知数列满足，，则的值是______. 10．在数列中，是其前n项和，且，则数列的通项公式______． 11．已知数列的前项之和为，满足，且，则时，__________． 四、解题技巧实战 【技巧实战1】 1． 已知数列中，，， (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； 【技巧实战2】 2．设是数列的前n项和，且． (1)证明：数列是等差数列； 【技巧实战3】 3．在数列中，，，． (1)设，求证：数列是等比数列； 【技巧实战4】 4．设数列的前项和