专题09 空间角、距离的计算-2022-2023学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题09 空间角、距离的计算 知识点一 直线与平面所成的角 1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 [0°，90°].知识点二 二面角 1.有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2.平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角. 3.范围：[0，π] 4.记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q 5.度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 知识点三 点到平面的距离 定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 知识点四 直线与平面间的距离 定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的距离. 知识点五 平行平面间的距离 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线.它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. 考点01 直线与平面所成角（函数值）的计算 【典例1】（2023·全国·高一专题练习）正方体中，直线与平面所成角大小为______． 【典例2】（2023·高一课时练习）如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________． 【典例3】（2023·高一课时练习）在长方体中，，，是中点，求： (1)与平面所成的角； (2)与平面所成的角． 【总结提升】 求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 考点02 二面角（函数值）的大小 【典例4】（2023·全国·高一专题练习）点在二面角的平面上，点到平面的距离为，点到棱的距离为，则二面角的大小为______． 【典例5】（2023·高一课时练习）若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的侧面与底面所成角的大小是______. 【典例6】（2023·高一课时练习）已知平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为． (1)二面角的大小； (2)直线与平面所成的角的大小． 【规律方法】 1.求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择． 2．作二面角的平面角的方法： 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角． 方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角． 考点03 点到平面距离的计算 【典例7】（2023·高一单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点. (1)证明：平面； (2)求点A到平面的距离. 【典例8】（2023春·全国·高一专题练习）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，. (1)求直线与平面所成角正弦值； (2)求点到平面的距离. 【典例9】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【总结提升】 1.利用垂直关系，构造直角三角