专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法） 1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）； 2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）； 3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。 知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法 【知识点】 ③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。 【知识拓展1】十字相乘法分解因式 例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可； （2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；（3）同（2）；（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 【即学即练】 1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：_____________ 【答案】 【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解． 【解析】 故答案为：． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法． 2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题 由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． 分解因式：． 多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． （1）尝试：分解因式：（______）（______）； （2）应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解． 【答案】（1）2，4；（2）（x-2）（x-3），（x+1）（x-6） 【分析】（1）根据“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”可得； （2）利用“x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）”进行因式分解即可． 【详解】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），故答案为：2，4； （2）x2-5x+6=x2+[（-2）+（-3）]x+[（-2）×（-3）]=（x-2）（x-3）， x2-5x-6=x2+[1+（-6）]x+[1×（-6）]=（x+1）（x-6）． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是理解“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”． 【知识拓展2】先换元再十字相乘 例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设，则（第一步） 原式（第二步） （第三步） 把代入上式，得原式（第四步） 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题： （1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ； （2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解． 【答案】（1）不彻底，；（2） 【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可； （2）设，再根据不同的方法把原式进行分解即可． 【详解】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底， 原式 =； （2）设， 则 = = = = = 【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式和十字相乘法的应用． 【即学即练】 1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）