专题01二次根式（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲（人教版）

专题01二次根式 一．二次根式的定义（共3小题） 二．二次根式有意义的条件（共3小题） 三．二次根式的性质与化简（共4小题） 四．最简二次根式（共1小题） 五．二次根式的乘除法（共14小题） 六．分母有理化（共6小题） 七．同类二次根式（共3小题） 八．二次根式的加减法（共5小题） 九．二次根式的混合运算（共3小题） 十．二次根式的化简求值（共4小题） 十一．二次根式的应用（共7小题） 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 1）被开方数是整数或整式； 2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 一．二次根式的定义（共3小题） 1．（2022春•重庆期中）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解答】解：∵x2≥0， ∴x2+2≥2， ∴一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2022春•西华县期中）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： （1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝　　； （2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值． 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【解答】解：（1）∵a与2是关于6的共轭二次根式， ∴2a＝6， ∴a＝＝， 故答案为：； （2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式， ∴（4+）（8﹣m）＝26， ∴8﹣m＝＝＝8﹣2， ∴m＝2． 【点评】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算． 3．（2022春•尧都区期中）已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（　　） A．0 B．6 C．3 D．2 【分析】先分解质因数，再根据是一个正整数和a为正整数得出答案即可． 【解答】解：∵是一个正整数， 又∵72＝62×2，a为正整数， ∴正整数a的最小值为2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能正确分解质因数是解此题的关键． 二．二次根式有意义的条件（共3小题） 4．（2022春•同安区期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可． 【解答】解：二次根式在实数范围内有意义， 则x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 5．（2020春•河口区校级期中）如果y＝，则2x+y的值是　5或﹣3　． 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题