专题20 与圆有关的位置关系（5大考点）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

第五部分 圆 专题20 与圆有关的位置关系（5大考点） 核心考点 核心考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 核心考点二 圆的切线的判定 核心考点三 圆的切线的性质 核心考点四 与切线的判定和性质有关的问题 核心考点五 三角形的内切圆 新题速递 核心考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 例1 （2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论． 【详解】如下图所示，连接，过点作， 此时点坐标可表示为， ∴，， 在中，， 又∵半径为5， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵左右两侧都有相切的可能， ∴A点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 例2 （2020·上海·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____． 【答案】＜AO＜． 【分析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，证明△AOE∽△ACD即可求出与AD相切时的AO值；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，证明△COF∽△CAB即可求出BC相切时的AO值，最后即可得到结论． 【详解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10， 如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE， 则OE⊥AD，∴OE//CD， ∴△AOE∽△ACD， ∴， ∴， ∴AO=； 如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF， 则OF⊥BC，∴OF//AB， ∴△COF∽△CAB， ∴， ∴， ∴OC=， ∴AO=， ∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜． 故答案为：＜AO＜． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 例3 （2022·四川凉山·统考中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6 (1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由； (2)求AB的长； (3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式． 【答案】(1)⊙M与x轴相切，理由见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论； （2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解； （3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可． 【详解】（1）解：⊙M与x轴相切，理由如下： 连接CM，如图， ∵MC=MA， ∴∠MCA=∠MAC， ∵AC平分∠OAM， ∴∠MAC=∠OAC， ∴∠MCA=∠OAC， ∵∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°， ∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上， ∴⊙M与x轴相切； （2）解：如图，过点M作MN⊥AB于N， 由（1）知，∠MCO=90°， ∵MN⊥AB于N， ∴∠MNO=90°，AB=2AN， 又∵∠CON=90°， ∴四边形OCMN是矩形， ∴MN=OC，ON=CM=5， ∵OA+OC=6， 设AN=x，   ∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x， 在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得 x2+(1+x)2=52， 解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去）， ∴AN=3， ∴AB=2AN=6； （3）解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P， 由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4， ∴OB=8，C（4，0） 在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得