专题19 圆的基本概念及其性质（5大考点）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

第五部分 圆 专题19 圆的基本概念及其性质（5大考点） 核心考点 核心考点一 圆周角、圆心角相关问题 核心考点二 垂径定理及其推论 核心考点三 圆内接四边形的性质 核心考点四 正多边形与圆相关的计算 核心考点五 圆的基本性质综合题 新题速递 核心考点一 圆周角、圆心角相关问题 例1 （2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（    ） A．138° B．121° C．118° D．112° 【答案】C 【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键 例2 （2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°． 【答案】35 【分析】连接并延长，交于点，连接，首先根据圆周角定理可得，再根据为的切线，可得，可得，再根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，连接． 为的直径， ， ， 为的切线， ， ， ， ． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 例3 （2022·福建·统考中考真题）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案； （2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接，如图， 由（1）得， ∵， ∴， ∴的长． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养． 知识点、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【变式1】（2023·山东·统考一模）．如图，在中，，以点为圆心，2为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线的性质得出，，利用解直角三角形求出，由圆周角定理求出，进而求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数，继而求出的度数． 【详解】如图，连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【变式2】（2022·陕西西安·一模）如图，是的直径，点M是内的一定点，是内过点M的一条弦，连接，若的半径为4，，则的最大值为 _____． 【答案】 【分析】如图，连接，过点A作交于点H，根据圆周角定理得到，，则可判断，利用相似比得到，然后利用的最大值为，确定的最大值． 【详解】解：如图，连接，过点A作交于点H． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为4， ∴， ∴， ∴当点H与点M重合时，有最大值， 即时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质． 【变式3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，已知为的直径，过上点的切线交的延长线于点，于点．且交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质首先得出，再利用平行线的判定得出，进而利用圆周角、圆心角定理得出； （2）首先求出，进而得出的长，即可求