16、专题训练（七） 立体几何中的向量方法-【名师伴你行】2023高考数学二轮复习专题训练教师用书课件PPT（新高考）

专题训练(七) 立体几何中的向量方法 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 一、单选题 1.（2022·河北示范性高中联合体3月联考）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E，F，G，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为 （　　） A. B. C. D. 答案：D　 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 解析：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为D1，BC的中点和B1C1的四等分点（靠近B1）.不妨设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F.以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz，如图，设AB＝2，则E（1，2，0），F，G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），从而＝，＝，＝（－2，2，2）. 设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z）， 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 则即 令x＝4，得n＝（4，－3，－1）.设直线AC1与平面EFG所成的角为θ， 则sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝.故选D. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 2.（2022·青海模拟）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB＝5，AC＝3，AA1＝4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为 （　　） A. B. C. D. 答案：D　 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 解析：由题意可得，BC＝＝4，以C为坐标原点，向量 ，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A（3，0，0），C1 （0，0，4），C（0，0，0），B1（0，4，4），所以＝（－3，0，4），＝（0，4，4），·＝16，｜｜＝5，｜｜＝4，因此异面直线AC1与BC1所成角的余弦值等于｜cos＜，＞｜＝＝＝.故选D. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 3.（2022·重庆模拟）如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CD＝BC＝1，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成30°的角，则线段PA长的取值范围是 （　　） A. B.（0，] C.（0，1] D. 答案：C　 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 解析：如图，以C为原点，CD所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系. 则C（0，0，0），A（0，1，1），B（0，2，0），D（1，0，0）， 设Q（q，0，0）（0≤q≤1），设＝λ＝（0，λ，－λ）（0＜λ≤1），则＝－（＋）＝（q，0，0）－（0，1，1）－（0，λ，－λ）＝（q，－1－λ，λ－1），＝（1，－1，－1）. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 ∵异面直线PQ与AD成30°的角， ∴cos 30°＝＝＝， ∴18λ2＋2＝－5q2＋16q，∵0≤q≤1， ∴－5q2＋16q∈[0，11]，即 解得－≤λ≤，∵0＜λ≤1， ∴0＜λ≤， 可得｜PA｜＝｜｜＝＝λ∈（0，1]. 故选C. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 4.（2022·福建龙岩教学质量检查）如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B内，若D1M⊥CP，则△BCM面积的最小值为 （　　） A.8 B.4 C.8 D. 答案：D　 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 解析：以AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则P（0，0，2），C（4，4，0），D1（0，4，4）.设M（a，0，b），则＝（a，－4，b－4），＝（－4，－4，2）.∵D1M⊥CP，∴·＝－4a＋16＋2b－8＝0，即b＝2a－4.取AB的中点N，连接B1N，则点M的轨迹即为线段B1N. 过点B作BQ⊥B1N，则当点M与点Q重合时，BM最小，且BM的最小值为＝.又BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥BM，∴△BCM面积的最小值为×4×＝.故选D. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 5.（2022·河北衡水模拟）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，面对角线B1D1上存在一点P使得A1P＋PB最短，则A1P＋PB的最小值为 （　　） A. B. C.2＋ D.2 答案：A　 解析：把对角面BDD1B1及面A1B1D1展开（图略），使矩形BDD1B1，Rt△A1B1D1在一个平面上，则A1P＋PB的最小值为A1B.在△A1B1B中，∠A1B1B＝∠A1B1D1＋∠D1B1B＝＋＝，A1B1＝1，B1B＝，由余弦定理，得A1B＝＝.故选A. 第1页 （新）高考二轮