10、大题专项练（二） 数列-【名师伴你行】2023高考数学二轮复习专题训练教师用书课件PPT（新高考）

大题专项练(二) 数 列 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 1.（2022·福建三明模拟）设数列的前n项和为Sn，若a1＝1，Sn＝an＋1－1. （1）求数列的通项公式； 解：（1）因为a1＝1，Sn＝an＋1－1. 所以S1＝a2－1，解得a2＝2. 当n≥2时，Sn－1＝an－1， 所以an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an，所以2an＝an＋1，即＝2. 因为＝2也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1（n∈N*）. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 （2）设bn＝，求数列的前n项和Tn. 解：（2）由（1）知an＋1＝2n，所以bn＝， 所以Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，① Tn＝1×＋2×＋…＋（n－1）×＋n×，② ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－n×＝－n× ＝1－，所以Tn＝2－. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 2.（2022·湖北黄冈模拟）已知等差数列的前n项和为Sn，且a3＝1，S6＝7，数列满足b1＋b2＋…＋bn＝2n＋1－2. （1）求数列和的通项公式； 解：（1）设等差数列的公差为d，则 解得 所以an＝＋（n－1）×＝. 因为b1＋b2＋…＋bn＝2n＋1－2， 所以当n＝1时，b1＝2； 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 当n≥2时，b1＋b2＋…＋bn－1＝2n－2， 所以bn＝（2n＋1－2）－（2n－2）＝2n， 显然b1＝2符合bn＝2n. 综上可知bn＝2n. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 （2）记cn＝bn·tan（anπ），求数列的前3n项和. 解：（2）由（1）知cn＝2n·tan， 设dn＝c3n－2＋c3n－1＋c3n，则dn＝23n－2×＋23n－1×（－）＋0＝－×23n－2， 所以是以8为公比，－2为首项的等比数列， 所以数列的前3n项和为T3n＝＝. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 3.（2022·江苏无锡模拟）已知数列满足an＝（n∈N*）. （1）求a1，a3，a5. （1）解：由题意知a1＝a2－2＝－2＝0， a3＝a4－4＝－4＝4， a5＝a6－6＝－6＝12. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 ①证明：是等差数列； （2）将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列（m∈N*）， ②设数列的前m项和为Sm，求证：Sm＜. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 （2）证明：①当n为奇数时，n＋1为偶数， ∴an＝an＋1－（n＋1）＝－（n＋1）＝， ∴bm＝a2m－1＝＝2m（m－1）， ∴＝＝2m－2， 当m≥2时，－＝（2m－2）－[2（m－1）－2]＝2， ∴是以＝＝0为首项，2为公差的等差数列. ②由①知bm＋1＝2m（m＋1）（m∈N*）， ∴＝＝（－）， Sm＝＝＝－＜. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 4.（2022·北京卷）已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai＋1，ai＋2，…，ai＋j（j≥0），使得ai＋ai＋1＋ai＋2＋…＋ai＋j＝n，则称Q为m－连续可表数列. （1）判断Q：2，1，4是否为5－连续可表数列？是否为6－连续可表数列？说明理由. （1）解：若m＝5，则对于任意的n∈{1，2，3，4，5}，a1＝2，a2＝1，a1＋a2＝2 ＋1＝3，a3＝4，a2＋a3＝1＋4＝5， 所以Q是5－连续可表数列. 由于不存在任意连续若干项相加之和为6， 所以Q不是6－连续可表数列. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 （2）证明：假设k的值为3，则a1，a2，a3最多能表示a1，a2，a3，a1＋a2，a2＋a3，a1＋a2＋a3共6个数字，与Q是8－连续可表数列矛盾，同理k的值为1，2也不满足题意，故k≥4. 现构造Q：6，2，－1，4，可以表示出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在k＝4满足题意. 故k的最小值为4. （2）若Q：a1，a2，…，ak为8－连续可表数列，求证：k的最小值为4. 第1页 （新）高考二轮复习·数学　 （3）证明：先证明k≥6. 从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，所以对任意给定的5个正整数，最多可以表示5＋4＋3＋2＋1＝15（个）正整数，不能表示20个正整数，同理k的值小于5也不满足题意，则k≥6. 若k＝6，最多可以表示6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）正整数，由于Q为20－连续可表数列，且a1＋a2＋a3＋…＋ak＜20，所以其中必有一项为负数. 由前面证明可知有5个正整数时，最