8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（4种题型）-2022-2023学年高一数学教材配套题型讲解过关练（人教A版2019必修第二册）

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 · 考纲要求 1．了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系． 2．掌握关于平面基本性质的三个基本事实． 3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系． 4．了解空间两直线间的位置关系． 5．理解空间直线与平面的位置关系．3．掌握空间平面与平面的位置关系． · 知识解读 知识点①平面 1．平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的． 2．平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①． 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②． 3．平面的表示法 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 知识点②点、线、面之间的位置关系 1．直线在平面内的概念 如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l． 2．一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点③平面的基本性质及作用 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 知识点④空间两直线的位置关系 1．异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交． 2．空间两条直线的三种位置关系 知识点⑤直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点⑥平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 · 题型讲解 题型一、点、线共面问题 例1．如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α． 例2．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点． 例3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F． 求证：E，F，G，H四点必定共线． 题型二、两直线位置关系的判定 例4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 题型三、直线与平面的位置关系 例5．下列说法： ①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线． 其中正确的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 题型四、平面与平面的位置关系 例6．在以下三个命题中，正确的命题是(　　) ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行； ③在平面α，β内分别有一条直线，这两