第一章 三角形的证明（基础版）-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末知识梳理与题型归纳（北师大版）

第一章 三角形的证明 等腰三角形 · 等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合. （三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°； 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. · 等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”.） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法 若等腰三角形边长别为和，则该等腰三角形的周长是　　 A． B． C． D．或 【解答】解：①为腰，为底，此时周长为； ②为底，为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 故其周长是． 故选：． 如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，，则的周长为　　 A．8 B．9 C．10 D．13 【解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长为：． 故选：． 等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是　　 A． B．或 C．或 D． 【解答】解：等腰三角形的一个内角为， 若这个角为顶角，则底角为：； 若这个角为底角，则另一个底角也为， 其一个底角的度数是或． 故选：． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为　　 A． B． C．或 D．或 【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是． 故选：． 在中，若，其周长为12，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设腰长为，则底边长为，依题意得： ， 解得． 故腰长的取值范围是． 故选：． 如图，在中，，，，，则的长为　　 A．1.5 B．2 C．3 D．4 【解答】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 用反证法证明三角形至少有一个角不大于，应假设　　 A．三个角都小于 B．三个角都大于 C．三个角都大于或等于 D．有两个角大于 【解答】解：反证法证明三角形至少有一个角不大于， 应假设三个角都大于， 故选：． 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是　　 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【解答】解：如图，分情况讨论： ①为等腰的底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：． 如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：作于， ， ， ， ， ， ， 故选：． 如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上； ②； ③； ④．正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：是等边三角形，，，且， 在的平分线上，故①正确； ，， ， ，故②正确； ， ， ，故③正确； 由③得，是等边三角形， ， 又由②可知，④，故④也正确， ①②③④都正确， 故选：． 如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①和都是等腰三角形； ②； ③的周长等于与的和； ④． 其中正确的有　　 A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【解答】解：， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形． ，，即有， 的周长． 故选：． 如图，，，，若，则　4　． 【解答】解：作于，如图所示： ， ，， ， ， ． 故答案为：4 如图，，，若为，，则　6　． 【解答】解：在和中， ． ． 又， ． ． ，， 为等边三角形． ． 故答案为：6 如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点，点在运动过程中，若是等腰三角形，则的度数为　或　． 【解答】解：， ， ①当时，， ， 此时不符合； ②当时，即， ， ； ； ③当时，， ， ； 当是等腰三角形时，的度数是或． 故答案为：或． 如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【解答】解：（1）是等边三角形， ． ， ，， ， ， ， ； （2）， ， ． ， ． ． ． 在中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：．