第二章 相交线与平行线（提升版）-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末知识梳理与题型归纳（北师大版）

第二章 相交线与平行线 如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由翻折知，， ， ， 故选：． 如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，则， 的角平分线为，设， ，， 而，，， ，则， ， 在中， 故， 而， 故选：． 如图，，为上方一点，、分别为、上的点，、的角平分线交于点，的角平分线与的延长线交于点，下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：平分，平分， ，， ， 即，故①正确； 设与交于，于交于， ， ， ， ，故②正确； 平分，平分， ，， ， ，， ， ，， ，故③正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ，故④正确． 综上，正确答案有4个， 故选：． 如图，，平分，平分，若设，则　　度（用，的代数式表示），若平分，平分，可得，平分，平分，可得，依次平分下去，则　　度． 【解答】解：（1）如图，分别过点、作直线，， ． 又， ． ． ． （2）平分，平分， ． ． 以此类推：，，，． 故答案为：，． 已知，，，，若，则　　． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案是：． 已知如图，，，平分，且，若，则　37.5　度． 【解答】解：设， 平分， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：37.5 如图，直线，点为直线上一点，连接、，，，的角平分线交于点，点是射线上的一个动点，连接、，的角平分线交于点．当时，令，用含的式子表示为　　 A． B． C． D．或 【解答】解：如图，当点在内部时， ，， ， ， ， 又平分， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 如图，当点在外部时时，设与交于点． ，，， ， ， ， 和的内角和均为，且， ， 则， 又平分， ， ， ， ． 故选：． 如图，，若，，则　　． 【解答】解：，，， ，， ， ， 故答案是． 如图，点在上，，，垂足分别为，，点，在上，，． 求证：（1）； （2）． 【解答】证明：（1），， ， ； （2），， ， ， ， ， ． 如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的有 　①②④　．（填序号） 【解答】解：①， ，， ． ①正确． ②， ， ， ， ． ②正确． ③， ， ， 不平行于． ③错误． ④由②得． ． ④正确． 故答案为：①②④． 如图，，，． （1）求的度数． （2）若比大，求的度数． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ，， ． 如图，已知，且，点是射线上一动点（不与点重合），，分别平分和，交射线于点，． （1）求的度数； （2）当点运动到使时，求的度数； （3）在点运动过程中，与之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 【解答】解：（1）， ， ， ， ，分别平分和， ，， ； （2）， ， ， ， ， 由（1）得：，， ； （3）存在，，理由如下： ， ，， 平分， ， ． 问题情境：如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为　110　度； （2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【解答】（1）解：过点作， ， ， ，， ，， ，， ． （2）， 理由：如图2，过作交于， ， ， ，， ； （3）如图所示，当在延长线上时， ； 如图所示，当在延长线上时， ． 已知直线，点，分别在，上，是平面内一点（不在直线、、上），平分，射线，交于点． （1）如图①，若，，则　　， （2）如图②，若，，则　　； （3）直接写出点在不同位置时、和三个角之间满足的数量关系． 【解答】解：（1），， ， ，， ， 即， ，， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2），， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， 故答案为：； （3）①若点在直线与之间，则有； ②若点在直线与之外，且在直线的左侧，则有； 若点在直线与之外，且在直线的右侧，则有． 如图，已知点，，不在同一条直线上，． （1）求证； （2）如图2，，分别为三等分、所在直线，，，试探究与的数量关系； （3）如图3，在（2）的前提下，且有，直线、交于点，，请直接写出　　． 【解答】（1）证明：过点作，如图， 则，