第一章 整式的乘除（提升版）-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末知识梳理与题型归纳（北师大版）

第一章 整式的乘除 掌握理解完全平方公式的变形公式： · · · 【例1】 为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上方法计算的值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：令， 则， ， ， 则． 故选：． 【例2】 的个位数字　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：原式 ， ，，，， ，，，， 的个位数字为2，4，8，6四个数字的循环． ， 的个位数字是 故选：． 【例3】 已知，，，都是正数，设，，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．不确定 【解答】解：设，则 ， ， ，，，都是正数， ， ． 故选：． 【例4】 已知，那么的值为　　 A．4046 B．2023 C．4042 D．4043 【解答】解：， ． ． 故选：． 【例5】 已知，那么代数式的值是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：， ，， ， ， ． 故选：． 【例6】 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，7就是一个智慧数，，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是　　 A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【解答】解： ， 是智慧数， 选项不符合题意； 不能写成两个正整数的平方差， 不是智慧数， 选项符合题意； ， 是智慧数， 选项不符合题意； ， 是智慧数， 选项不符合题意； 故选：． 【例7】 从前，一位农场主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会　　 A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【解答】解：原来租的土地面积：（平方米）． 现在租的土地面积：（平方米）． ． 张老汉的租地面积会减少． 故选：． 【例8】 将四个长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则，满足　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， 又， ， 整理，得， ， ． 故选：． 【例9】 将边长为的正方形和边长为正方形按如图所示放入长方形中，，，若两个正方形的重叠部分长方形的边长为1，则下列说法错误的是　　 A． B． C．阴影部分的周长为36 D．阴影部分的面积为 【解答】解：依题意有： ， ①②得， 解得，故说法正确； ， 说法正确； 由平移可知，阴影部分的周长为， 故说法正确； 阴影部分的面积为， 故说法错误． 故选：． 【例10】 如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．要使阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，则定值为　　 A．5 B． C． D．10 【解答】解：， ， ； 与的取值无关， ， ， 解得． 故选：． 【例11】 已知，则　2　，　　． 【解答】解：，两边平方得：， 对其两边进行平方得；， ， ， ， 故． 故答案为：2， 【例12】 　　． 【解答】解： ， 故答案为：． 【例13】 如图，长方形的边，是边上的一点，且．，分别是线段，上的动点，且，现以，为边作长方形，以为边作正方形，点，均在长方形内部．记图中的阴影部分面积分别为，，长方形和正方形的重叠部分是四边形，当四边形的邻边比为时，的值为　7或　． 【解答】解：在矩形中，，． 四边形为正方形，四边形为矩形，， 四边形为矩形，． ， ， ． 当矩形的邻边的比为时，，或， 解得或． 当时，，， ； 当时，，， ． 故答案为7或． 【例14】 小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为　4037　． 【解答】解：展开后得到； ， 展开后得到， ， ， 【例15】 故答案为： 【例16】 ① ② ③ 题：猜想　　． 题：当，代数式　　． 【解答】解：（1）， 故答案为； （2），或， 当时，；当时，， 或0， 故答案为或0 【例17】 学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图 （1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：　　； （2）选取1张型卡片，4张型卡片，则应取　　张型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 　　（用含，的代数式表示）； （3）选取4张型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种型卡片，由此可检验的等量关系为 　　； （4）选取1张型卡片，3张型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则与有什么关系？请说明理由． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）根据题意可知：， 应取4张型卡