专题08 空间直线、平面的垂直-2022-2023学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题08 空间直线、平面的垂直 知识点一 直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 3.特别提醒：如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交，就不能说明这条直线与此平面垂直. 知识点二 平面与平面垂直 1.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2. 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识点三 常用结论 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 考点01 线面垂直的判定与证明 【典例1】（2023·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面. 【典例2】（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中．求证：面； 【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CDAB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． (1)求证：BC⊥平面ACD； (2)求几何体D﹣ABC的体积． 【总结提升】 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 考点02 线线垂直的判定与证明 【典例4】（2023·高一课时练习）已知在平面外，满足，，平面，垂足为，求证：为底面的垂心． 【典例5】（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，. (1)求证：平面； (2)求证：； 【规律方法】 证明线线垂直的基本方法： (1)证明一条直线垂直于经过另一直线的平面，称之为线面垂直法． (2)计算两条直线所成角等于90°，称之为计算角度法 考点03 面面垂直的判定与证明 【典例6】（2023·全国·高一专题练习）如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 【典例7】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.求证： (1)平面； (2)平面平面. 【总结提升】 1.面面垂直判定的两种方法与一个转化 (1)两种方法： ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 2．证面面垂直的思路 (1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 考点04 面面垂直性质的应用 【典例8】（2022春·广西百色·高一校考期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别为的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：. 【典例9】（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知平行四边形与直角梯形所在的平面互相垂直，且，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【总结提升】 1.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直． 2.垂直关系的转化： 3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． 4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们